UVa1308/LA2572 Viva Confetti

题目链接

?????????本题是2002年ICPC亚洲区域赛金沢(日本)赛区的H题

题意

????????我已经把n个圆盘依次放到了桌面上。现按照放置顺序依次给出各个圆盘的圆心位置和半径，问最后有多少圆盘可见？如下图所示。

分析

? ? ? ?《训练指南》的题解：

????????题目说“保证在对输入数据进行微小扰动后答案不变”，意味着圆盘的可见部分不会太小。不难发现，每个可见部分都是由一些“小圆弧”围成的，因此可以先求出所有小圆弧，然后判断每段小圆弧是否可见（在程序实现中，可以用圆弧中点代替整条圆弧进行判断）。小圆弧可见，意味着它所在的圆是可见的。接下来，对于所有可见的小圆弧，看看这段圆弧中点的正下方都有哪些圆盘，则其中最顶部的圆盘也是可见的（想一想，为什么）。
????????如何求出所有小圆弧？所有圆两两求交点，则每个圆上任两个相邻交点之间的圆弧就是所求。需要注意的是，如果一个圆不和其他所有圆相交，则整个圆是一条所求圆弧。

? ? ? ? 这个思路真的很巧，特此写一篇笔记加强印象，还有一些细节参见AC代码。

? ? ? ? 这里给一份测试数据，以及我用python写的画图可视化分析数据的脚本，能方便看出每个圆被其上面有相交的那些圆的覆盖情况：

AC代码

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

#define N 102
double a[N][N<<1], x[N], y[N], r[N], z = M_PI + M_PI; bool vis[N], esc[N]; int c[N], n;

double check(double x) {
    return x > M_PI ? x-z : (x < -M_PI ? x+z : x);
}

void judge(int i, double a) {
    double px = x[i] + r[i]*cos(a), py = y[i] + r[i]*sin(a);
    for (int j=i+1; j<n; ++j) if (sqrt((px-x[j])*(px-x[j])+(py-y[j])*(py-y[j])) < r[j]) return;
    vis[i] = 1;
    for (int j=i-1; j>=0; --j) if (sqrt((px-x[j])*(px-x[j])+(py-y[j])*(py-y[j])) < r[j]) {
        vis[j] = 1; return;
    }
}

void solve() {
    for (int i=0; i<n; ++i) cin >> x[i] >> y[i] >> r[i], c[i] = vis[i] = esc[i] = 0;
    for (int i=0; i<n; ++i) for (int j=i+1; j<n; ++j) {
        double dx = x[i]-x[j], dy = y[i]-y[j], d = sqrt(dx*dx + dy*dy);
        if (d <= max(r[i], r[j])-min(r[i], r[j])) {
            if (r[i] <= r[j]) esc[i] = 1;
            continue;
        }
        if (d < r[i]+r[j]) {
            double x = atan2(dy, dx), b = acos((d*d+r[j]*r[j]-r[i]*r[i])/d/r[j]/2),
                y = M_PI - acos((d*d+r[i]*r[i]-r[j]*r[j])/d/r[i]/2);
            a[j][c[j]++] = check(x+b); a[j][c[j]++] = check(x-b);
            a[i][c[i]++] = check(x+y); a[i][c[i]++] = check(x-y);
        }
    }
    for (int i=0; i<n; ++i) {
        if (esc[i]) continue;
        if (c[i]) {
            sort(a[i], a[i]+c[i]);
            judge(i, (a[i][c[i]-1] + a[i][0]) / 2 + M_PI);
            for (int j=c[i]-1; j>0; --j) judge(i, (a[i][j-1] + a[i][j]) / 2);
        } else vis[i] = 1;
    }
    int ans = 0;
    for (int i=0; i<n; ++i) if (vis[i]) ++ans;
    cout << ans << endl;
}

int main() {
    while (cin >> n && n) solve();
    return 0;
}