【笔记】网络流算法模板

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EK求最大流

题目描述

给定一个包含 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，并给定每条边的容量，边的容量非负。

图中可能存在重边和自环。求从点 $S$ 到点 $T$ 的最大流。

输入格式

第一行包含四个整数 $n,m,S,T$。

接下来 $m$ 行，每行三个整数 $u,v,c$，表示从点 $u$ 到点 $v$ 存在一条有向边，容量为 $c$。

点的编号从 $1$ 到 $n$。

输出格式

输出点 $S$ 到点 $T$ 的最大流。

如果从点 $S$ 无法到达点 $T$ 则输出 $0$。

数据范围

$2\le n\le 1000$,
$1\le m\le 10000$,
$0\le c\le 10000$,
$S\ne T$

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算法步骤

不断 BFS，用 while 循环不断找残量网络中的增广路径。

每次

1. 找到增广路径
2. 更新残量网络
3. 累加最大流量

跳出循环即得出最大流。

算法时间复杂度 $O(n{m}^2)$

AC Code

$\text{C}++$

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 1010, M = 20010;
const int INF = 1e9;

int n, m, S, T;
int h[N], e[M], f[M], ne[M], idx;
int q[N], d[N], pre[N];
bool st[N];

inline void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++ ;
}

bool bfs()
{
    memset(st, false, sizeof st);
    int hh = 0, tt = 0;
    q[0] = S, d[S] = INF, st[S] = true;
    
    while (hh <= tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (!st[j] && f[i])
            {
                st[j] = true;
                d[j] = min(d[t], f[i]);
                pre[j] = i;
                if (j == T) return true;
                q[ ++ tt] = j;
            }
        }
    }
    return false;
}

int EK()
{
    int flow = 0;
    while (bfs())
    {
        flow += d[T];
        for (int i = T; i != S; i = e[pre[i] ^ 1])
            f[pre[i]] -= d[T], f[pre[i] ^ 1] += d[T]; 
    }
    return flow;
}

int main()
{
    int a, b, c;
    memset(h, -1, sizeof h);
    
    scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &S, &T);
    while (m -- )
    {
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }
    
    printf("%d\n", EK());
    return 0;
}

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Dinic/ISAP求最大流

题目描述

给定一个包含 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，并给定每条边的容量，边的容量非负。

图中可能存在重边和自环。求从点 $S$ 到点 $T$ 的最大流。

输入格式

第一行包含四个整数 $n,m,S,T$。

接下来 $m$ 行，每行三个整数 $u,v,c$，表示从点 $u$ 到点 $v$ 存在一条有向边，容量为 $c$。

点的编号从 $1$ 到 $n$。

输出格式

输出点 $S$ 到点 $T$ 的最大流。

如果从点 $S$ 无法到达点 $T$ 则输出 $0$。

数据范围

$2\le n\le 10000$,
$1\le m\le 100000$,
$0\le c\le 10000$,
$S\ne T$

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算法步骤

Dinic 算法其实是 EK 算法的一个暴力的优化，EK 算法每次只能搜索一条增广路径，而 Dinic 算法每次都用 DFS 的形式尽可能多的搜索增广路径。

而图中可能存在环，为了保证 DFS 的过程中不会造成死循环，这里可以使用分层图，这样每次都是一层一层往下搜索，就不会出现死循环。

1. BFS 建立分层图
2. DFS 找出所有能增广的路径
3. 累加最大流量

注意： Dinic 算法对于优化非常敏感，如果优化的不好就可能直接 TLE

算法时间复杂度 $O(n^{2}m)$

AC Code

$\text{C}++$

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 10010, M = 200010;
const int INF = 1e9;

int n, m, S, T;
int h[N], e[M], ne[M], f[M], idx;
int d[N], q[N], cur[N];
bool st[N];

inline void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++ ;
}

bool bfs()
{
    memset(d, -1, sizeof d);
    int hh = 0, tt = 0;
    q[0] = S, d[S] = 0, cur[S] = h[S];

    while (hh <= tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (d[j] == -1 && f[i])
            {
                d[j] = d[t] + 1;
                cur[j] = h[j];
                if (j == T) return true;
                q[ ++ tt] = j;
            }
        }
    }
    return false;
}

int find(int u, int lim)
{
    if (u == T) return lim;
    int flow = 0;
    for (int i = cur[u]; ~i && flow < lim; cur[u] = i, i = ne[i])
    {
        int j = e[i];
        if (d[j] == d[u] + 1 && f[i])
        {
            int t = find(j, min(f[i], lim - flow));
            if (!t) d[j] = -1;
            f[i] -= t, f[i ^ 1] += t, flow += t;
        }
    }
    return flow;
}

int dinic()
{
    int r = 0, flow = 0;
    while (bfs()) while ((flow = find(S, INF))) r += flow;
    return r;
}

int main()
{
    int a, b, c;
    memset(h, -1, sizeof h);

    scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &S, &T);
    while (m -- )
    {
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        add(a, b, c);
    }

    printf("%d\n", dinic());
    return 0;
}

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Dinic/ISAP求最小割

根据 最大流最小割定理，我们知道，最大流与最小割在数值上相等。证明过程见 这里。

因此跑最大流的 Dinic 板子即可，代码没有任何区别，就不再放了。

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EK求费用流

题目描述

给定一个包含 $n$ 个点 $m$ 条边的有向图，并给定每条边的容量和费用，边的容量非负。

图中可能存在重边和自环，保证费用不会存在负环。

求从 $S$ 到 $T$ 的最大流，以及在流量最大时的最小费用。

输入格式

第一行包含四个整数 $n,m,S,T$。

接下来 $m$ 行，每行三个整数 $u,v,c,w$，表示从点 $u$ 到点 $v$ 存在一条有向边，容量为 $c$，费用为 $w$。

点的编号从 $1$ 到 $n$。

输出格式

输出点 $S$ 到点 $T$ 的最大流和流量最大时的最小费用。

如果从点 $S$ 无法到达点 $T$ 则输出 0 0。

数据范围

$2\le n\le 5000$,
$1\le m\le 50000$,
$0\le c\le 100$,
$?100\le w\le 100$
$S\ne T$

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算法步骤

费用流算法本质上是 EK 算法，只不过将找增广路的 BFS 算法替换为了 SPFA 算法。

1. 找到增广路径
2. 更新残量网络
3. 累加最大流量

算法时间复杂度 $O(n{m}^2)$

AC Code

$\text{C}++$

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 5010, M = 100010, INF = 1e8;

int n, m, S, T;
int h[N], e[M], f[M], w[M], ne[M], idx;
int q[N], d[N], pre[N], incf[N];
bool st[N];

void add(int a, int b, int c, int d)
{
    e[idx] = b, f[idx] = c, w[idx] = d, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
    e[idx] = a, f[idx] = 0, w[idx] = -d, ne[idx] = h[b], h[b] = idx ++ ;
}

bool spfa()
{
    int hh = 0, tt = 1;
    memset(d, 0x3f, sizeof d);
    memset(incf, 0, sizeof incf);
    q[0] = S, d[S] = 0, incf[S] = INF;
    while (hh != tt)
    {
        int t = q[hh ++ ];
        if (hh == N) hh = 0;
        st[t] = false;

        for (int i = h[t]; ~i; i = ne[i])
        {
            int ver = e[i];
            if (f[i] && d[ver] > d[t] + w[i])
            {
                d[ver] = d[t] + w[i];
                pre[ver] = i;
                incf[ver] = min(f[i], incf[t]);
                if (!st[ver])
                {
                    q[tt ++ ] = ver;
                    if (tt == N) tt = 0;
                    st[ver] = true;
                }
            }
        }
    }

    return incf[T] > 0;
}

void EK(int& flow, int& cost)
{
    flow = cost = 0;
    while (spfa())
    {
        int t = incf[T];
        flow += t, cost += t * d[T];
        for (int i = T; i != S; i = e[pre[i] ^ 1])
        {
            f[pre[i]] -= t;
            f[pre[i] ^ 1] += t;
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &S, &T);
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m -- )
    {
        int a, b, c, d;
        scanf("%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d);
        add(a, b, c, d);
    }

    int flow, cost;
    EK(flow, cost);
    printf("%d %d\n", flow, cost);

    return 0;
}

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最后，如果觉得对您有帮助的话，点个赞再走吧！