非线性方程求根

1.零点定理

函数连续，两端的函数值异号，则存在零点

2.二分法

将有根区间折半，取两端异号的一半区间作为新区间，重复以上操作

误差分析，距离准确解的距离

优点是简单、对函数要求不高，连续即可，缺点是无法求复根及偶重根、收敛慢

3.简单迭代法（不动点迭代）

不同的等效变换：是否收敛、收敛速度不同

4.收敛性

充分条件：压缩映像原理

第一条保证了不动点的存在（想象y=x和y=φ(x)的图像，必有交点）

第二条则保证了不动点的唯一性（想象y=x和y=φ(x)的图像，当φ(x)的导数小于1时，有且仅有1个交点）

误差估计公式

5.局部收敛性定理

x*为φ(x)的不动点，φ‘(x)在x*的某个邻域连续，且|φ‘(x)|<1，则迭代法局部收敛

6.收敛速度

p阶收敛的定义：

其中C为渐进误差常数，p=1为线性收敛，p=2为平方收敛

收敛阶数的判断条件

7.迭代过程的加速

埃特金(Aitken)算法

斯蒂芬森（steffensen）迭代法（基于埃特金算法）

8.牛顿法

使用某一点的切线代替曲线，求根，求得的根再作为新的点重复上述操作，迭代

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【《数值分析》| 华科 | 研究生基础课】https://www.bilibili.com/video/BV1AK4y1k7Px?p=34&vd_source=a53b34e44cbfd40d72a5b337c3e5a13d