线性代数——（期末突击）行列式（下）-行列式按行展开、范德蒙行列式、克拉默法则

发布时间：2024年01月02日

行列式按行展开

余子式

代数余子式?

行列式按行展开

余子式

若有行列式如下：

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 &3 \\ 1 & 1&1 &1 \\ 2& 2&3 &4 \\ 5 & 5 &6 & 6 \end{vmatrix}$

则有下面的余子式：

$M_{32}=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3\\ 1 &1 &1 \\ 5&6 &6 \end{vmatrix}$

代数余子式?

比余子式多了一个符号：

$A_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix} 1 & 0 &3 \\ 1 & 1 &1 \\ 5 &6 &6 \end{vmatrix}$

定理1

行列式按某行（列）展开， $D=\sum$ 某行（列）元素乘以自己的代数余子式。（降阶）

$\begin{vmatrix} 1 & 1& 2\\ 0& 1 &0 \\ 2& 3 & 5 \end{vmatrix}$ ，对于这个行列式，假设我们按第一行展开：

$\begin{vmatrix} 1& 1 &2 \\ 0& 1 &0 \\ 2&3 & 5 \end{vmatrix}=1\times(-1)^{1 +1}\begin{vmatrix} 1&0 \\ 3& 5 \end{vmatrix}+1\times(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 0 &0 \\ 2 & 5 \end{vmatrix}+2\times(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 0 &1 \\ 2 &3 \end{vmatrix}$

很显然，我们在展开时应尽量选择0较多的行或者列，类似于这个行列式我们就会选择展开第二行而不是第一行了。?

定理2

某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和等于0.

相比于定理1，这个定理不是很常用

有如下行列式：

$\begin{vmatrix} 1 &1 &2 & 3\\ 0 & 0 &8 &9 \\ 2 &5 & 5 &4 \\ 9& 9 &9 & 10 \end{vmatrix}$ ，我们用第四行的元素与第一行元素的代数余子式相乘，再相加

$9\times A_{11}+9\times A_{12}+9\times A_{13}+10\times A_{14}=0$

证明：

根据性质3（行列式中两行或者两列对应相等，则该行列式的值为0），所以D=0.

练习

（解题方法不唯一）

题1

四阶行列式

? =（）

A.0? ? ? ? B.4? ? ? ? C.12? ? ? ? D.-12

故答案选择：D.-12

题2?

四阶行列式

展开式中x的系数为（）

A.-4? ? ? ? B.4? ? ? ? C.2? ? ? ? D.-2

故答案选择：A.-4?

题3

排列 $2n(2n-1)(2n-2)...21$ 的逆序数为（）

A.2n? ? ? ? B.2n-1? ? ? ? C.n(2n-1)? ? ? ? D.2n(n-1)

根据逆序数的定义，我们可以知道，这道题本质上是求等差数列1,2,3...(2n-1)的和；

因为对于‘2n’来说，其逆序数有2n-1个、对于‘2n-1’来说，其逆序数有2n-2个，以此类推。

代入等差数列的求和公式 $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ ，逆序数等于 $\frac{(2n-1)(1+(2n-1))}{2}=\frac{(2n-1)2n}{2}=n(2n-1)$

故答案选择：C.n(2n-1)

题4

设 $\begin{vmatrix} x &1 &1 \\ 1 &x &1 \\ 1 & 1 &x \end{vmatrix}=0$ ，则x=（）

A.0或1? ? ? ? B.0或-2? ? ? ? C.1或-2? ? ? ? D.0或-1

故答案选择：?C.1或-2?

题5

若 $\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{vmatrix}=m\neq 0$ ，则 $\begin{vmatrix} 2a_{11} &2a_{12} \\ 2a_{21} & 2a_{22} \end{vmatrix}$ =（）

A.m? ? ? ? B.2m? ? ? ? C.3m? ? ? ? D.4m

从行的角度看，第一行提一个2，得

$2\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ 2a_{21} &2a_{22} \end{vmatrix}$ ?

第二行再提一个2，得

$2\times2\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=4m$

再从列的角度看，第一列提一个2，得?

$2\begin{vmatrix} a_{11} &2a_{12} \\ a_{21} &2 a_{22} \end{vmatrix}$

第二列再提一个2，得

$2\times2\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=4m$ ?

范德蒙行列式?

回顾

范德蒙行列式形式： $D=\begin{vmatrix} 1 &1 &1 &... &1 \\ x_1 &x_2 &x_3 &... &x_n \\ x_1^2 &x_2^2 &x_3^2 &... &x_n^2 \\ ... &... &... &... &... \\ x_1^{n-2} &x_2^{n-2} &... &... &x_n^{n-2} \\ x_1^{n-1} &x_2^{n-1} &... &... &x_n^{n-1} \end{vmatrix}$

遇到类似于上式的行列式时，可以使用范德蒙行列式直接计算此行列式的值。

具有上式特征的行列式的值为：

$\underset{n\geq i> j\geq 1}{\prod}=(x_i-x_j)$

上面的式子表示：行列式D的值为所有的 $(x_i-x_j)$ 的乘积（其中i>j）

例如：

$\begin{vmatrix} 1 &1 &1 \\ x_1 &x_2 &x_3 \\ x_1^2 &x_2^2 &x_3^2 \end{vmatrix}$ 的值为： $(x_3-x_1)(x_3-x_2)(x_2-x_1)$

练习

题1

三阶行列式 $\begin{vmatrix} a &a^2 &a^3 \\ b &b^2 &b^3 \\ c &c^2 &c^3 \end{vmatrix}$ =（）

A.（b-a）（c-a）（c-b）? ? ? ? ? ?B.abc（b-a）（c-a）（c-b）

C.（b+a）（c+a）（c+b）? ? ? ? C.abc（b+a）（c+a）（c+b）

?原式= $abc\begin{vmatrix} 1 &a &a^2 \\ 1& b & b^2\\ 1& c &c^2 \end{vmatrix}=abc(b-a)(c-a)(c-b)$

因此答案选择：?B.abc（b-a）（c-a）（c-b）?

题2

四阶行列式 $\begin{vmatrix} 1&1 &1 &1 \\ 1 &-2 &2 &3 \\ 4& 1& 9& 16\\ 8& -1 &27 &64 \end{vmatrix}$ =（）

A.-120? ? ? ? B.120? ? ? ? C.24? ? ? ? D.-24

$\begin{matrix} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \begin{vmatrix} 1&1 &1 &1 \\ 1 &-2 &2 &3 \\ 4& 1& 9& 16\\ 8& -1 &27 &64 \end{vmatrix}\overset{r_2+r_1}{=}\begin{vmatrix} 1&1 &1 &1 \\ 2 &-1 &3 &4 \\ 4& 1& 9& 16\\ 8& -1 &27 &64 \end{vmatrix}&= & & \\ (4-2)[4-(-1)](4-3)(3-2)[3-(-1)][(-1)-2]& =& & \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: 2\times5\times1\times1\times4\times(-3) &= &-120 & \\ & & & \end{matrix}$ ?

因此答案选择：?A.-120

克拉默法则

有下列方程组：

$\left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n &= &b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n &= &b_2 \\ ... &... &... \\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n &= &b_m \end{matrix}\right.$

其系数行列式 $\left | A \right |\neq 0$ ，则方程组解唯一。

$x_i=\frac{\left | A_i \right |}{\left | A \right |}$

$\left | A_i \right |$ 意为把行列式中的第 i 列替换为? $b_1,b_2,...,b_m$

例如，

$x_2=\frac{\left | A_2 \right |}{\left | A \right |}=\frac{\begin{vmatrix} a_{11} &b_{1} &... &a_{1n} \\ a_{21} &b_{2} &... &a_{2n} \\ ... &... &... &... \\ a_{m1} &b_m &... &a_{mn} \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} a_{11} &a_{12} &... &a_{1n} \\ a_{21} &a_{22} &... &a_{2n} \\ ... &... &... &... \\ a_{m1} &a_{m2} &... &a_{mn} \end{vmatrix}}$

学习自：https://www.bilibili.com/video/BV1xM41147Mj?vd_source=11f3dfb26d11a6a6832ed5c079654e1c?

文章来源:https://blog.csdn.net/li13437542099/article/details/135209837
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