考研数学——重要函数的泰勒公式

泰勒公式

泰勒公式

设$f(x)$在点$x=0$处$n$阶可导，则存在$x=0$的一个邻域，对于该邻域内的任一点$x$，有
$$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+?+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n)$$

重要函数的泰勒公式

$\sin x=x?\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$

$\cos x=1?\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4)$

$\arcsin x=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$

$\tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$\arctan x=x?\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$\ln (1+x)=x?\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)$

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)$

$(1+x{)}^{\alpha }=1+\alpha x+\frac{\alpha (\alpha ?1)}{2!}{x}^2+o(x^2)$

$\frac{1}{1?x}=1+x+x^2+x^3+o(x^3)$

$\frac{1}{1+x}=1?x+x^2?x^3+o(x^3)$

处理得到等价无穷小代换

如$x?\sin x=\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)$，则$x?\sin x～\frac{1}{6}{x}^3(x\to 0)$

同理有
$$\arcsin x?x～\frac{1}{6}{x}^3(x\to 0),\tan x?x～\frac{1}{3}{x}^3(x\to 0),x?\arctan x～\frac{x^3}{3}(x\to 0)$$
将公式广义化，则得到下图所示