代码随想录算法训练营第二十四天 |回溯算法理论基础、77. 组合

发布时间:2023年12月22日

今天学习内容:回溯算法理论基础、77. 组合

讲解:代码随想录

回溯算法理论基础

(图片来源于代码随想录)题目分类:

回溯算法理解重点

回溯函数也就是递归函数,指的都是一个函数。回溯的本质是穷举,穷举所有可能,然后选出我们想要的答案。回溯法的问题都可以抽象为树形结构,回溯法解决的都是在集合中递归查找子集,集合的大小就构成了树的宽度,递归的深度,都构成的树的深度。递归就要有终止条件,所以必然是一棵高度有限的树(N叉树)。

回溯算法解决的问题

  • 组合问题:N个数里面按一定规则找出k个数的集合
  • 切割问题:一个字符串按一定规则有几种切割方式
  • 子集问题:一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
  • 排列问题:N个数按一定规则全排列,有几种排列方式(组合是不强调元素顺序的,排列是强调元素顺序。)
  • 棋盘问题:N皇后,解数独等等

回溯算法模板

回溯三部曲。

1.回溯函数模板返回值以及参数

函数起名字为backtracking,函数返回值一般为void。

void backtracking(参数)

2.回溯函数终止条件

什么时候达到了终止条件,树中就可以看出,一般来说搜到叶子节点了,也就找到了满足条件的一条答案,把这个答案存放起来,并结束本层递归。

if (终止条件) {
    存放结果;
    return;
}

3.回溯搜索的遍历过程?

回溯法一般是在集合中递归搜索,集合的大小构成了树的宽度,递归的深度构成的树的深度。

for循环可以理解是横向遍历,backtracking(递归)就是纵向遍历,这样就把这棵树全遍历完了,一般来说,搜索叶子节点就是找的其中一个结果了。回溯函数遍历过程伪代码如下:?

for (选择:本层集合中元素(树中节点孩子的数量就是集合的大小)) {
    处理节点;
    backtracking(路径,选择列表); // 递归
    回溯,撤销处理结果
}

整体代码模板如下:

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择:本层集合中元素(树中节点孩子的数量就是集合的大小)) {
        处理节点;
        backtracking(路径,选择列表); // 递归
        回溯,撤销处理结果
    }
}

77.组合

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需要对着回溯算法理论基础给出的代码模板,来做本题组合问题。关于剪枝操作是理解的重点。

递归来做层叠嵌套(可以理解是开k层for循环),每一次的递归中嵌套一个for循环,那么递归就可以用于解决多层嵌套循环的问题。

本题抽象为下图。

每次从集合中选取元素,可选择的范围随着选择的进行而收缩,调整可选择的范围

图中可以发现n相当于树的宽度,k相当于树的深度

回溯法三部曲

1.递归函数的返回值以及参数

在这里要定义两个全局变量,一个用来存放符合条件单一结果,一个用来存放符合条件结果的集合。

vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件结果

函数里一定有两个参数,既然是集合n里面取k个数,那么n和k是两个int型的参数。

然后还需要一个参数,为int型变量startIndex,这个参数用来记录本层递归的中,集合从哪里开始遍历(集合就是[1,...,n] )。

需要startIndex来记录下一层递归,搜索的起始位置。

那么整体代码如下:

vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
vector<int> path; // 用来存放符合条件单一结果
void backtracking(int n, int k, int startIndex)

?2.回溯函数终止条件

path这个数组的大小如果达到k,说明我们找到了一个子集大小为k的组合了,在图中path存的就是根节点到叶子节点的路径。

此时用result二维数组,把path保存起来,并终止本层递归。

所以终止条件代码如下:

if (path.size() == k) {
    result.push_back(path);
    return;
}

单层搜索的过程

回溯法的搜索过程就是一个树型结构的遍历过程,在如下图中,可以看出for循环用来横向遍历,递归的过程是纵向遍历。

for循环每次从startIndex开始遍历,然后用path保存取到的节点i。

代码如下:

for (int i = startIndex; i <= n; i++) { // 控制树的横向遍历
    path.push_back(i); // 处理节点
    backtracking(n, k, i + 1); // 递归:控制树的纵向遍历,注意下一层搜索要从i+1开始
    path.pop_back(); // 回溯,撤销处理的节点
}

可以看出backtracking(递归函数)通过不断调用自己一直往深处遍历,总会遇到叶子节点,遇到了叶子节点就要返回。

backtracking的下面部分就是回溯的操作了,撤销本次处理的结果。

完整代码如下:

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result; // 存放符合条件结果的集合
    vector<int> path; // 用来存放符合条件结果
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n; i++) {
            path.push_back(i); // 处理节点
            backtracking(n, k, i + 1); // 递归
            path.pop_back(); // 回溯,撤销处理的节点
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        result.clear(); // 可以不写
        path.clear();   // 可以不写
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};

剪枝操作

可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置

优化过程如下:

  1. 已经选择的元素个数:path.size();

  2. 还需要的元素个数为: k - path.size();

  3. 在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1,开始遍历

优化后整体代码如下:

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    vector<int> path;
    void backtracking(int n, int k, int startIndex) {
        if (path.size() == k) {
            result.push_back(path);
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) { // 优化的地方
            path.push_back(i); // 处理节点
            backtracking(n, k, i + 1);
            path.pop_back(); // 回溯,撤销处理的节点
        }
    }
public:

    vector<vector<int>> combine(int n, int k) {
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
};

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今日总结

1.了解回溯算法路论基础、原理。回溯法解决k层for循环嵌套的问题。

2.回溯法的搜索过程抽象为树形结构,需要记住回溯算法的模板和具体过程。

3.掌握回溯算法剪枝操作。

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文章来源:https://blog.csdn.net/hewfhpiwjgjfw/article/details/135153359
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