Joint Transmit Beamforming for Multiuser MIMO Communications and MIMO Radar

$$\begin{array}{c}\mathbf{R}=\text{E}\left(\mathbf{x}[n]{\mathbf{x}}^H[n]\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(5)?}$$

$\mathbf{R}$ as $$\begin{array}{c}\mathbf{R}={\mathbf{W}}_r{\mathbf{W}}_r^H+{\mathbf{W}}_c{\mathbf{W}}_c^H.\end{array}\text{\hspace{1em}(6)?}$$

The per-antenna power constraint implies that for each $m=1,\dots ,M$ it holds that $$\begin{array}{c}{\left[\mathbf{R}\right]}_{m,m}={\left[{\mathbf{W}}_r{\mathbf{W}}_r^H+{\mathbf{W}}_c{\mathbf{W}}_c^H\right]}_{m,m}=P_t/M,\end{array}\text{\hspace{1em}(7)?}$$

where $P_t$ is the total transmit power.

III. PERFORMANCE METRICS OF RADAR AND COMMUNICATION

基于联合发射波束形成的信号模型，我们的预编码器设计遵循以下指导原则：对于MIMO雷达，预编码器设计用于合成针对感兴趣雷达目标的发射波束；对于多用户MIMO通信，预编码器的设计是为了保证通信用户接收信噪比。MIMO雷达和多用户MIMO通信的这些性能指标分别在第III-A节和第III-B节中进行了适当的阐述。

A. MIMO Radar Performance

MIMO雷达波束形成的主要目的是将发射波束引导到几个给定的方向，以便获得这些波束照射目标的更多信息。这些方向通常是发射机所知道的：当雷达工作在跟踪模式时，波束方向是根据先前观测获得的目标方向推断出来的；当雷达工作在搜索模式时，波束方向由角扇形感兴趣中心（angular sector-of-interest）给出。因此，为了制定与MIMO雷达波束形成相关的性能指标，我们首先表示每个方向上的发射信号，然后开发评估发射波束方向的损失函数。将损失函数和天线功率约束相结合，实现了一个关于雷达性能的优化问题。

在 DFRC 系统中，通信信号可用于感知，因为雷达接收机具有发射通信波形的完整知识。这样，通信信号在雷达接收机上就不被认为是干扰。假设发射波形为窄带，传播路径为视距(LoS)， $\theta$ 方向的基带信号可以表示为

$$\begin{array}{c}y[n;\theta ]={\mathbf{a}}^H(\theta )\mathbf{x}[n],\end{array}\text{\hspace{1em}(8)?}$$

其中 $\mathbf{a}(\theta )$ 是 $\theta$ 方向的阵列导向向量。当发射波形被位于角方向 $\theta$ 的点目标反射时，接收信号可表示为
$$\begin{array}{c}\mathbf{y}[n]=\beta {\mathbf{a}}^{?}(\theta ){\mathbf{a}}^H(\theta )\mathbf{x}[n?n^{\prime }]+\mathbf{z}[n],\end{array}\text{\hspace{1em}(9)?}$$

其中 $\beta$ 与目标的雷达-散射截面(RCS)成比例的复振幅，$n^{\prime }$ 代表离散时间延迟，and $\mathbf{z}[n]$ 为协方差 ${\mathbf{R}}_z$ 的加性零均值时间白噪声。

根据文献[50]中关于MIMO雷达探测信号设计的指导原则，MIMO雷达发射波束形成的预期目标包括：

1. 优化给定方向的发射功率，或通常匹配期望的波束方向图;
2. 降低多个给定方向信号之间的互相关模式，这对自适应MIMO雷达技术的性能至关重要。

这里，角方向 $\theta$ 处的发射功率(波束方向图)为

$$\begin{array}{rl}& P(\theta ;\mathbf{R})=\text{E}\left({\left|y[n;\theta ]\right|}^2\right)\\ & =\text{E}\left({\mathbf{a}}^H(\theta )\mathbf{x}[n]{\mathbf{x}}^H[n]\mathbf{a}(\theta )\right)={\mathbf{a}}^H(\theta )\mathbf{R}\mathbf{a}(\theta ),\end{array}\text{\hspace{1em}(10)?}$$

${\theta }_1$ and ${\theta }_2$ 之间的互相关模式（cross correlation pattern）定义为

$$\begin{array}{rl}& P_c({\theta }_1,{\theta }_2;\mathbf{R})=\text{E}\left(y^{?}[n;{\theta }_1]y[n;{\theta }_2]\right)\\ & =\text{E}\left({\mathbf{a}}^H({\theta }_2)\mathbf{x}[n]{\mathbf{x}}^H[n]\mathbf{a}({\theta }_1)\right)={\mathbf{a}}^H({\theta }_2)\mathbf{R}\mathbf{a}({\theta }_1).\end{array}\text{\hspace{1em}(11)?}$$

由式(10)和式(11)可知，发射波束方向图和相互关联方向图均由协方差 $\mathbf{R}$ 决定，因此，通过设计协方差矩阵 $\mathbf{R}$ [50]，[54]，可以实现MIMO雷达波形的适当波束形成。

为此，我们使用在[50]，[54]中提出的损失函数来评估雷达性能，它是波束方向图误差和互相关两部分的加权和。具体来说，第一部分是得到的波束方向图与某些期望波束方向图之间的均方误差(MSE)，由

$$\begin{array}{c}{L}_{r,1}(\mathbf{R},\alpha )=\frac{1}{L}\sum _{l=1}^L{\left|\alpha d({\theta }_l)?P({\theta }_l;\mathbf{R})\right|}^2,\end{array}\text{\hspace{1em}(12)?}$$

其中 $\alpha$ 是缩放因子， $d(\theta )$ 是给定的期望波束方向图， { θ l } l = 1 L \lbrace \theta _l \rbrace _{l=1} ^ {L} {θl?}l=1L? 是采样的角度网格。第二部分为均方互相关模式，表示为

$$\begin{array}{c}{L}_{r,2}(\mathbf{R})=\frac{2}{P^2?P}\sum _{p=1}^{P?1}\sum _{q=p+1}^P{\left|P_c({\overline{\theta }}_p,{\overline{\theta }}_q;\mathbf{R})\right|}^2,\end{array}\text{\hspace{1em}(13)?}$$

其 { θ ￣ p } p = 1 P \lbrace \overline{ \theta } _p \rbrace _{p=1} ^ {P} {θp?}p=1P? 为目标的给定方向。(13)中的求和被 $\frac{2}{P^2?P}$ 归一化 ，因为集合 { θ ￣ p } \lbrace \overline{ \theta } _p \rbrace {θp?}中存在 $\frac{P^2?P}{2}$对不同的方向。雷达的损失函数为

$$\begin{array}{c}{L}_r(\mathbf{R},\alpha )=L_{r,1}(\mathbf{R},\alpha )+w_c{L}_{r,2}(\mathbf{R}),\end{array}\text{\hspace{1em}(14)?}$$

其中 $w_c$ 为加权因子。如[50]、[54]所述，损失函数 $L_r(\mathbf{R},\alpha )$ 可以写成 $\mathbf{R}$ 和 $\alpha$ 的正半定二次函数。

结合(12)和(13)中的损失函数，在没有通信约束的情况下，即在只有雷达的设定下，可以根据每个天线功率约束下的总体雷达目标[50]，设计发射信号的协方差。

$$\begin{array}{rl}{\min }_{\mathbf{R},\alpha }& L_r(\mathbf{R},\alpha )\\ \text{subject?to}& \mathbf{R}\in {\mathcal{S}}_M^{+},\\ & {\left[\mathbf{R}\right]}_{m,m}=P_t/M,m=1,\dots ,M.\end{array}\text{\hspace{1em}(15a)(15b)(15c)?}$$

我们用 ${\mathbf{R}}_0$ 表示该问题的最优协方差。通常，如果发射波形的协方差为${\mathbf{R}}_0$，则无法满足第III-B节所述的多用户MIMO通信的性能要求。换句话说，与仅雷达情况相比，由于与通信共享频谱，存在固有的雷达性能损失。为了解决我们的DFRC系统的通信性能，我们将在下一小节中讨论通信度量指标。

B. Multiuser MIMO Communication Performance

多用户广播通信的常见性能指标是SINR，它直接关系到在降低复杂度解码下（reduced complexity decoding）的可实现速率[55，第8章]。因此，我们设计了MIMO传输的预编码器，以优化用户的SINR。为此，我们首先提出了通信信号模型，并推导了SINR的表达式。

考虑一个下行链路多用户MIMO传输场景，其中 $K<M$ 单天线用户观察频率平坦的高斯噪声信道的输出。在时间实例 $n$ 处的 $K$ 个用户的信道输出，通过 $K\times 1$ 向量$\mathbf{r}[n]$ 表示，由

$$\begin{array}{c}\mathbf{r}[n]=\mathbf{H}{\mathbf{W}}_c\mathbf{c}[n]+\mathbf{H}{\mathbf{W}}_r\mathbf{s}[n]+\mathbf{v}[n],\end{array}\text{\hspace{1em}(16)?}$$

式中，$\mathbf{H}$ 为 $K\times M$ 窄带信道矩阵（narrow-band channel matrix），$\mathbf{v}[n]$ 为协方差为 ${\sigma }^2{\mathbf{I}}_K$ 的加性高斯噪声(AWGN)。

在多用户发射波束形成中，预编码器的设计应保证用户处有一定的SINR。这里，假设发射阵列知道瞬时下行信道 $\mathbf{H}$，例如，可以通过在时分双工模式下工作时利用无线信道互易性获得，即下行信道是通过上行信道估计获得的。或者，在频分双工模式下，下行信道可以通过用户的信道反馈获得，参见，例如[56]。将等效雷达到用户信道和等效用户间信道矩阵定义为

$$\begin{array}{r}{\mathbf{F}}_r=\mathbf{H}{\mathbf{W}}_r,\\ {\mathbf{F}}_c=\mathbf{H}{\mathbf{W}}_c,\end{array}\text{\hspace{1em}(17a)(17b)?}$$

分别。由于用户通常不能相互合作，因此 ${\mathbf{F}}_c$ 的非对角线元素会导致用户间干扰，应该通过预编码来缓解。同时，由于用户一般没有任何关于雷达波形的先验信息，${\mathbf{F}}_r$ 会导致来自雷达的干扰。在第 $k$ 个用户处，信号功率为

$$\begin{array}{c}\text{E}\left(|[{\mathbf{F}}_c{]}_{k,k}{c}_k(t){|}^2\right)={\left|[{\mathbf{F}}_c{]}_{k,k}\right|}^2,\end{array}\text{\hspace{1em}(18)?}$$

用户间干扰功率为

因此，第 $k$ 个用户处的SINR表示为

$$\begin{array}{c}{\gamma }_k=\frac{|[{\mathbf{F}}_c{]}_{k,k}{|}^2}{{\sum }_{i\ne k}|[{\mathbf{F}}_c{]}_{k,i}{|}^2+{\sum }_{i=1}^M|[{\mathbf{F}}_r{]}_{k,i}{|}^2+{\sigma }^2}.\end{array}\text{\hspace{1em}(21)?}$$

多用户波束成形的两个典型设计准则是[57]、[58]：

• 吞吐量：最大化和速率
  $$\begin{array}{c}C(\mathbf{\gamma })=\sum _{k=1}^K{\log }_2\left(1+{\gamma }_k\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(22)?}$$
• 公平性：最大化最小SINR，指的是
  F ( γ ) = min { γ 1 , … , γ K } . \begin{equation*} F(\boldsymbol {\gamma }) = \mathop{\text{min}} \lbrace \gamma _1, \ldots, \gamma _K \rbrace . \tag{23} \end{equation*} F(γ)=min{γ1?,…,γK?}.?(23)?

这里，$\mathbf{\gamma }=[{\gamma }_1,\dots ,{\gamma }_K{]}^T$。在这项工作中，我们使用公平性SINR $F(\mathbf{\gamma })$ 作为多用户通信的性能指标，并要求它高于给定的阈值 $\Gamma$，以保证每个用户的通信服务质量的最低水平，即
$$\begin{array}{c}{\gamma }_k\ge \Gamma ,k=1,\dots ,K.\end{array}\text{\hspace{1em}(24)?}$$

公平性波束成形在计算复杂度上更简单，可以在多项式时间内求解，而最优吞吐量波束成形是NP难的[57]。我们注意到，在Section IV公式化的联合波束形成问题中，公平性SINR要求可以扩展为具有K个单独的SINR约束[59]，即 ${\gamma }_k\ge {\Gamma }_k$ 对于 $k=1,\dots ,K$，其中 ${\Gamma }_k$ 为第K个用户处的SINR阈值。

由于目标回波（echoes）具有双向传播损耗，雷达信号的发射功率通常远高于典型的通信发射机。在DRFC方案中，高功率雷达干扰会导致通信接收机恢复发射符号的能力显著下降。因此，提出了SINR约束(24)来缓解雷达对用户的干扰。当通信用户和目标的角度方向足够明显时，雷达波形可以对目标形成高度定向的波束，同时通过独立通信和雷达波形的发射波束形成方法消除通信用户处的雷达干扰。当只传输如图2(b)所示的通信波形时，这种波束形成能力可能无法实现，这促使使用遵循图2(a)所示模型的单独预编码通信和雷达波形。

然而，当用户和雷达目标位于相似的角度方向时，取消雷达干扰可能导致无法正确照射雷达目标。然而，DFRC系统完全了解通信波形，因此其反射信号也可以用于目标检测，这表明可以通过形成具有通信波形的发射波束同时覆盖目标和用户进行联合雷达传感和数据传输来克服这一挑战。这可以通过仅传输通信波形来实现感知和通信，如图2(b)所示，这是图2(a)中联合波束形成模型的一个特殊情况。因此，基于单独预编码的雷达和通信波形的联合波束形成模型，预计将适用于广泛的场景，包括图2(b)中的模型适用的场景，以及其他具有挑战性的设置，如第v节中数值演示的那样。为了实现这种改进的、鲁棒的双重功能能力，在下一节中，我们根据图2(b)的信号模型推导出联合波束形成方案。

IV.Joint Transmit Beamforming

根据提出的MIMO雷达和通信性能指标，我们现在转向设计DFRC联合波束形成方案。我们首先将联合发射波束成形描述为关于第IV-A节中的预编码矩阵的优化问题。为了解决这个问题，我们在第IV-B节中提出了一种基于半定松弛(SDR)的优化方案，以及在第IV-C节中提出了一种消除用户间干扰和雷达干扰的迫零(ZF)方法。

A. Problem Formulation

我们联合DFRC波束形成的目标是在发射功率和通信服务质量约束下优化雷达波束方向。特别是，在单天线功率约束(7)和每个下行链路用户公平SINR约束(24)下，我们最小化了(14)中定义的雷达波束方向图上的损失函数。

设 $\mathbf{W}=[{\mathbf{W}}_c,{\mathbf{W}}_r]$ 为整体预编码矩阵。预编码矩阵可以通过求解下面的优化问题得到

$$\begin{array}{rl}{\min }_{\mathbf{W},\alpha }& L_r(\mathbf{R},\alpha )\\ \text{subject?to}& \mathbf{R}=\mathbf{W}{\mathbf{W}}^H\in {\mathcal{S}}_M^{+},\\ & {\left[\mathbf{R}\right]}_{m,m}=P_t/M,m=1,\dots ,M,\\ & {\gamma }_k\ge \Gamma ,k=1,\dots ,K,\end{array}\text{\hspace{1em}(25a)(25b)(25c)(25d)?}$$

其中(25a) - (25c)来自(15)处理雷达性能，(25d)来自考虑公平SINR要求(24)。

阈值的选择 $\Gamma$ 影响通信质量和雷达性能之间的权衡。什么时候 $\Gamma =0$， (25d)成立，雷达-通信联合波束形成问题(25)简化为只针对雷达的优化问题(15)。什么时候$\Gamma >0$，与(15)中仅雷达发射波束形成问题相比，(17)中指定等效信道的预编码器 $\mathbf{W}$ 受到(25d)中SINR约束的限制。因此，与仅使用雷达的情况相比，可能存在由于需要满足通信性能保证而导致的固有雷达性能损失。如果更高 $\Gamma$ 设置，则预计在用户端观测到更高的信号功率和更少的干扰，进一步限制预编码矩阵。因此，MIMO雷达的性能损失变得更加显著。

由于(25b)中的二次等式约束，优化问题(25)是非凸的，因此难以求解。尽管如此，我们在第IV-B节中表明，它可以使用SDR进行重制，使得可解松弛问题的解也是原始非凸问题的全局优化(25)，即松弛是紧的。为了进一步降低计算复杂度，我们在 Section IV-C 中提出了一种次优的迫零波束成形策略，该策略被证明能够接近第五节中提出的数值研究中(25)的全局解的性能。

B. Joint Transmit Beamforming via SDR

在本小节中，我们使用SDR策略[60]，[61]来解决非凸问题(25)。为了实现这个目标，我们首先显式地将关系(25b)写成关于 $\mathbf{W}$ 的每一列的二次约束，让 ${\mathbf{w}}_i$ 表示 $\mathbf{W}$ 的第 $i$ 列，对于 $i=1,\dots ,M+K$，那么(25b)变成

$$\begin{array}{c}\mathbf{R}=\sum _{i=1}^{M+K}{\mathbf{w}}_i{\mathbf{w}}_i^H.\end{array}\text{\hspace{1em}(26)?}$$

定义 ${\mathbf{R}}_i={\mathbf{w}}_i{\mathbf{w}}_i^H$，我们有

$$\begin{array}{c}\mathbf{R}=\sum _{i=1}^{M+K}{\mathbf{R}}_i,\end{array}\text{\hspace{1em}(27)?}$$

我们省略了秩为一约束。(25d)中的SINR约束可以转换为关于秩为1的矩阵 { R i } \lbrace \boldsymbol {R}_{i} \rbrace {Ri?} 的线性约束。让 ${\mathbf{h}}_k^H$ 表示 $\mathbf{H}$ 的第 $k$ 行，对于 $k=1,\dots ,k$。则等效信道矩阵的项可写成 $[{\mathbf{F}}_r{]}_{k,i}={\mathbf{h}}_k^H{\mathbf{w}}_{i+K}$ 和 $[{\mathbf{F}}_c{]}_{k,i}={\mathbf{h}}_k^H{\mathbf{w}}_i$。因此，SINR约束变成

$$\begin{array}{rl}{\gamma }_k& =\frac{{\mathbf{h}}_k^H{\mathbf{w}}_k{\mathbf{w}}_k^H{\mathbf{h}}_k}{{\sum }_{1\le i\le M+K,i\ne k}{\mathbf{h}}_k^H{\mathbf{w}}_i{\mathbf{w}}_i^H{\mathbf{h}}_k+{\sigma }^2}\\ & =\frac{{\mathbf{h}}_k^H{\mathbf{R}}_k{\mathbf{h}}_k}{{\sum }_{1\le i\le M+K,i\ne k}{\mathbf{h}}_k^H{\mathbf{R}}_i{\mathbf{h}}_k+{\sigma }^2}\\ & =\frac{{\mathbf{h}}_k^H{\mathbf{R}}_k{\mathbf{h}}_k}{{\mathbf{h}}_k^H\mathbf{R}{\mathbf{h}}_k?{\mathbf{h}}_k^H{\mathbf{R}}_k{\mathbf{h}}_k+{\sigma }^2}\ge \Gamma .\end{array}\text{\hspace{1em}(28)?}$$

我们现在将(25)转换为具有秩一约束的等价的二次半定规划(QSDP)

min R , { R i } , α ? ? L r ( R , α ) subject?to? ? R = ∑ i = 1 M + K R i ∈ S M + , ? [ R ] m , m = P t / M , ? m = 1 , … , M , ? R i ∈ S M + , ? r a n k ( R i ) = 1 , ? i = 1 , … , K + M , ? ( 1 + Γ ? 1 ) h k H R k h k ≥ h k H R h k + σ 2 , ? k = 1 , … , K , \begin{align*} \mathop{\text{min}} _{ \boldsymbol {R},\lbrace \boldsymbol {R} _i \rbrace, \alpha } \ & \ L_r(\boldsymbol {R}, \alpha) \tag{29a} \\ \text{subject to} \ & \ \boldsymbol {R} = \sum _{i=1}^{M+K} \boldsymbol R _ i \in \mathcal {S}_{M}^+, \tag{29b} \\ & \ \left[\boldsymbol {R}\right]_{m,m} = P_t / M, \ m = 1,\ldots,M, \tag{29c} \\ & \ \boldsymbol {R}_i \in \mathcal {S}_{M}^+, \ \mathrm{rank} (\boldsymbol R _ i) = 1, \ i = 1,\ldots,K+M, \tag{29d} \\ \ \left(1 + \Gamma ^{-1} \right) &\boldsymbol h _ k ^ H \boldsymbol R _ k \boldsymbol h _ k \geq \boldsymbol h _ k ^ H \boldsymbol R \boldsymbol h _ k + \sigma ^2, \ k = 1,\ldots,K, \tag{29e} \end{align*} minR,{Ri?},α??subject?to??(1+Γ?1)??Lr?(R,α)?R=i=1∑M+K?Ri?∈SM+?,?[R]m,m?=Pt?/M,?m=1,…,M,?Ri?∈SM+?,?rank(Ri?)=1,?i=1,…,K+M,hkH?Rk?hk?≥hkH?Rhk?+σ2,?k=1,…,K,?(29a)(29b)(29c)(29d)(29e)?

其中(29e)来源于(28)。我们观察到，在问题(29)中，独立的矩阵 { R i } i ≥ K + 1 \lbrace \boldsymbol R _ i \rbrace _{i \geq K+1} {Ri?}i≥K+1? 对SINR约束没有影响，只是封装在整体协方差矩阵R中。因此，我们可以去掉变量 { R i } i ≥ K + 1 \lbrace \boldsymbol R _ i \rbrace _{i \geq K+1} {Ri?}i≥K+1? 将(29)转换为

$$\begin{array}{rl}{\min }_{\mathbf{R},{\mathbf{R}}_1,\dots ,{\mathbf{R}}_K,\alpha }& L_r(\mathbf{R},\alpha )\\ \text{subject?to}& \mathbf{R}\in {\mathcal{S}}_M^{+},\mathbf{R}?\sum _{k=1}^K{\mathbf{R}}_k\in {\mathcal{S}}_M^{+},\\ & {\left[\mathbf{R}\right]}_{m,m}=P_t/M,m=1,\dots ,M,\\ & {\mathbf{R}}_k\in {\mathcal{S}}_M^{+},\mathrm{rank}({\mathbf{R}}_k)=1,k=1,\dots ,K,\\ \left(1+{\Gamma }^{?1}\right)& {\mathbf{h}}_k^H{\mathbf{R}}_k{\mathbf{h}}_k\ge {\mathbf{h}}_k^H\mathbf{R}{\mathbf{h}}_k+{\sigma }^2,k=1,\dots ,K.\end{array}\text{\hspace{1em}(30a)(30b)(30c)(30d)(30e)?}$$

由于秩为1的约束，优化问题(30)仍然是非凸的。省略这些约束会导致以下松弛：

$$\begin{array}{rl}{\min }_{\mathbf{R},{\mathbf{R}}_1,\dots ,{\mathbf{R}}_K,\alpha }& L_r(\mathbf{R},\alpha )\\ \text{subject?to}& \mathbf{R}\in {\mathcal{S}}_M^{+},\mathbf{R}?\sum _{k=1}^K{\mathbf{R}}_k\in {\mathcal{S}}_M^{+},\\ & {\left[\mathbf{R}\right]}_{m,m}=P_t/M,m=1,\dots ,M,\\ & {\mathbf{R}}_k\in {\mathcal{S}}_M^{+},k=1,\dots ,K,\\ \left(1+{\Gamma }^{?1}\right)& {\mathbf{h}}_k^H{\mathbf{R}}_k{\mathbf{h}}_k\ge {\mathbf{h}}_k^H\mathbf{R}{\mathbf{h}}_k+{\sigma }^2,k=1,\dots ,K.\end{array}\text{\hspace{1em}(31a)(31b)(31c)(31d)(31e)?}$$

松弛的优化模型(31)是一个凸QSQP，因为目标函数是一个半正定二次型，所有的约束要么是线性的，要么是半正定的。(31)的全局最优可以在多项式时间内通过凸优化工具箱[62]-[65]得到。

定理1：对于(31)存在全局最优，用 $\tilde{\mathbf{R}},{\tilde{\mathbf{R}}}_1,\dots ,{\tilde{\mathbf{R}}}_K$ 表示，满足

$$\begin{array}{c}\mathrm{rank}({\tilde{\mathbf{R}}}_k)=1,k=1,\dots ,K.\end{array}$$

我们注意到定理1只陈述了秩为1的全局最优存在。一般来说，(31)的全局最优可能不是唯一的，凸优化软件可能不会给出一个秩一解。一旦最优解 $\hat{\mathbf{R}},{\hat{\mathbf{R}}}_1,\dots ,{\hat{\mathbf{R}}}_K$ 得到后，我们用它来寻找一个秩一最优解 ${\tilde{\mathbf{R}}}_1,\dots ,{\tilde{\mathbf{R}}}_K$ 以及相应的最优预编码器 ${\tilde{\mathbf{w}}}_1,\dots ,{\tilde{\mathbf{w}}}_K$，如附录a所述。

首先，我们计算 ${\tilde{\mathbf{R}}}_1,\dots ,{\tilde{\mathbf{R}}}_K$ 和$\tilde{\mathbf{R}},{\tilde{\mathbf{w}}}_1,\dots ,{\tilde{\mathbf{w}}}_K$ 通过
$$\begin{array}{c}\tilde{\mathbf{R}}=\hat{\mathbf{R}},{\tilde{\mathbf{w}}}_k={\left({\mathbf{h}}_k^H{\hat{\mathbf{R}}}_k{\mathbf{h}}_k\right)}^{?1/2}{\hat{\mathbf{R}}}_k{\mathbf{h}}_k,{\tilde{\mathbf{R}}}_k={\tilde{\mathbf{w}}}_k{\tilde{\mathbf{w}}}_k^H,\end{array}\text{\hspace{1em}(32)?}$$

$k=1,\dots ,K$ 。根据定理1的证明，$\tilde{\mathbf{R}},{\tilde{\mathbf{R}}}_1,\dots ,{\tilde{\mathbf{R}}}_K$ 是最优的。为了证明 $\tilde{\mathbf{R}},{\tilde{\mathbf{R}}}_1,\dots ,{\tilde{\mathbf{R}}}_K$ 对(29)也是最优的，我们构造了rank-one 矩阵 { R ~ i } i ≥ K + 1 \lbrace \tilde{\boldsymbol{R}} _ i \rbrace _{i \geq K+1} {R~i?}i≥K+1?as ${\tilde{\mathbf{R}}}_i={\tilde{\mathbf{w}}}_i{\tilde{\mathbf{w}}}_i^H$，其中向量 ${\tilde{\mathbf{w}}}_i$ for $i>K$ 是由Cholesky分解计算的[66]

$$\begin{array}{c}{\mathbf{W}}_r{\mathbf{W}}_r^H=\tilde{\mathbf{R}}?\sum _{k=1}^K{\tilde{\mathbf{w}}}_k{\tilde{\mathbf{w}}}_k^H,\end{array}\text{\hspace{1em}(33)?}$$

其中 ${\mathbf{W}}_r=[{\tilde{\mathbf{w}}}_{K+1},\dots ,{\tilde{\mathbf{w}}}_{K+M}]$ 是一个下三角矩阵。从(33)可以验证，约束(29b)适用于 $\tilde{\mathbf{R}},{\tilde{\mathbf{R}}}_1,\dots ,{\tilde{\mathbf{R}}}_{K+M}$ 。因此，$\tilde{\mathbf{R}},{\tilde{\mathbf{R}}}_1,\dots ,{\tilde{\mathbf{R}}}_{K+M}$ 是对(29)的可行解，因此也是对(29)的最优解。此外，预编码矩阵 $\tilde{\mathbf{W}}=[{\tilde{\mathbf{w}}}_1,\dots ,{\tilde{\mathbf{w}}}_{K+M}]$ 是对(25)的最优解。

总结了算法1中预编码矩阵 $\mathbf{W}$ 的计算过程。算法1的主要计算负担来自求解QSDP(31)。具体来说，给定一个解精度 $?$，用[67]，[68]中的原始对偶内点算法求解QSDP(31)的最坏情况复杂性是$\mathcal{O}(K^{6.5}{M}^{6.5}\log (1/?))$。

C. Joint Transmit Beamforming via ZF

通过算法1获得预编码器的计算负担促使寻求降低复杂度的次优波束形成策略。在本小节中，我们重点讨论ZF波束形成。ZF方法有助于获得封闭形式、易于处理和可解释的预编码器[58]，[69]。除了相对简单之外，从通信的角度来看，ZF波束形成已知会渐近地接近广播信道中的和容量[70]，这表明它有可能在涉及多用户通信的设置中接近最佳性能。

我们设计了预编码器来消除通过限制Fc toa获得的用户间干扰和雷达干扰
对角矩阵和Fr为零矩阵，即，

这里，pik 为第k个用户处的信号功率，取值为1≤k≤k。强制消除干扰有助于在用户处实现高SINR值。在第V节的数值研究中，我们证明了在附加ZF约束下可实现的性能接近于(25)的全局最优解，当SINR阈值很高时，通过算法1增加计算负担获得的全局最优解。

在ZF波束形成中，SINR 约束(25d)被重新表示为 $p_k\ge \Gamma {\sigma }^2$，对应的优化问题(25)变为

$$\begin{array}{rl}{\min }_{\mathbf{W},\alpha }& L_r(\mathbf{R},\alpha )\\ \text{subject?to}& \mathbf{R}=\mathbf{W}{\mathbf{W}}^H\in {\mathcal{S}}_M^{+},\\ & {\left[\mathbf{R}\right]}_{m,m}=P_t/M,m=1,\dots ,M,\\ & \mathbf{HW}=\left[\mathrm{diag}(\sqrt{\mathbf{p}}),0_{K\times M}\right],\\ & p_k\ge \Gamma {\sigma }^2,k=1,\dots ,K,\end{array}\text{\hspace{1em}(35a)(35b)(35c)(35d)(35e)?}$$

利用(38)，全局最优的 $\mathbf{R}$ 到

$$\begin{array}{rl}{\min }_{\mathbf{R},\alpha }& L_r(\mathbf{R},\alpha )\\ \text{subject?to}& \mathbf{R}\in {\mathcal{S}}_{+}^M,{\mathbf{HRH}}^H=\mathrm{diag}\left(\mathbf{p}\right),\\ & {\left[\mathbf{R}\right]}_{m,m}=P_t/M,m=1,\dots ,M,\\ & p_k\ge \Gamma {\sigma }^2,k=1,\dots ,K.\end{array}\text{\hspace{1em}(39a)(39b)(39c)(39d)?}$$

与(31)类似，优化(39)是一个凸QSDP，因为目标函数是正半定二次形式，所有约束要么是线性的，要么是半定的。(39)的最优值可以在多项式时间内得到。正如我们在后续文章中所示，ZF波束形成的总体复杂性大大低于通过算法1得到全局最优的复杂性。

(39)的解，即矩阵 $\tilde{\mathbf{R}}$ 和向量 $\tilde{\mathbf{p}}$，用于构造最优预编码矩阵 $\tilde{\mathbf{W}}$，如定理2的证明中所详细说明的那样。在这里，我们简要给出最终的表达式。首先，我们恢复一个 $M\times M$ 矩阵，它满足 $\tilde{\mathbf{R}}={\mathbf{L}}_r{\mathbf{L}}_r^H$。这可以使用，例如，Cholesky分解得到，尽管 ${\mathbf{L}}_r$ 不一定是三角形的，任何满足 $\tilde{\mathbf{R}}={\mathbf{L}}_r{\mathbf{L}}_r^H$ 的矩阵都可以用来计算 $\tilde{\mathbf{W}}$。然后，得到的预编码器 $\tilde{\mathbf{W}}$ 是

$$\begin{array}{c}\tilde{\mathbf{W}}={\mathbf{L}}_r{\mathbf{Q}}_h^H{\left[{\mathbf{Q}}_f^T\right]}_{1:M}^T,\end{array}\text{\hspace{1em}(40)?}$$