如何更好地理解和掌握 KMP 算法?

KMP算法是一种字符串匹配算法，可以在 O(n+m) 的时间复杂度内实现两个字符串的匹配。本文将引导您学习KMP算法，阅读大约需要30分钟。

1、字符串匹配问题

所谓字符串匹配，是这样一种问题：“字符串 P 是否为字符串 S 的子串？如果是，它出现在 S 的哪些位置？” 其中 S 称为主串；P 称为模式串。下面的图片展示了一个例子。

主串是那句著名的 “to be or not to be”，这里删去了空格。“no” 这个模式串的匹配结果是“出现了一次，从S[6]开始”；“ob”这个模式串的匹配结果是“出现了两次，分别从s[1]、s[10]开始”。按惯例，主串和模式串都以0开始编号。

字符串匹配是一个非常频繁的任务。例如，今有一份名单，你急切地想知道自己在不在名单上；又如，假设你拿到了一份文献，你希望快速地找到某个关键字所在的章节……凡此种种，不胜枚举。

我们先从最朴素的Brute-Force算法开始讲起。

2、Brute-Force

顾名思义，Brute-Force是一个纯暴力算法。说句题外话，我怀疑，“暴力”一词在算法领域表示“穷举、极低效率的实现”，可能就是源于这个英文词。

首先，我们应该如何实现两个字符串 A,B 的比较？所谓字符串比较，就是问“两个字符串是否相等”。最朴素的思想，就是从前往后逐字符比较，一旦遇到不相同的字符，就返回False；如果两个字符串都结束了，仍然没有出现不对应的字符，则返回True。实现如下：

既然我们可以知道“两个字符串是否相等”，那么最朴素的字符串匹配算法 Brute-Force 就呼之欲出了——

• 枚举 i = 0, 1, 2 ... , len(S)-len(P)
• 将 S[i : i+len(P)] 与 P 作比较。如果一致，则找到了一个匹配。

现在我们来模拟 Brute-Force 算法，对主串 “AAAAAABC” 和模式串 “AAAB” 做匹配：

这是一个清晰明了的算法，实现也极其简单。下面给出Python和C++的实现：

我们成功实现了 Brute-Force 算法。现在，我们需要对它的时间复杂度做一点讨论。按照惯例，记 n = |S| 为串 S 的长度，m = |P| 为串 P 的长度。

考虑“字符串比较”这个小任务的复杂度。最坏情况发生在：两个字符串唯一的差别在最后一个字符。这种情况下，字符串比较必须走完整个字符串，才能给出结果，因此复杂度是 O(len) 的。　　

由此，不难想到 Brute-Force 算法所面对的最坏情况：主串形如“AAAAAAAAAAA...B”，而模式串形如“AAAAA...B”。每次字符串比较都需要付出 |P| 次字符比较的代价，总共需要比较 |S| - |P| + 1次，因此总时间复杂度是 O(|P|?(|S|?|P|+1))O(|P|\cdot (|S| - |P| + 1) ) . 考虑到主串一般比模式串长很多，故 Brute-Force 的复杂度是 O(|P|?|S|)O(|P| \cdot |S|) ，也就是 O(nm)的。这太慢了！

3、Brute-Force的改进思路

经过刚刚的分析，您已经看到，Brute-Force 慢得像爬一样。它最坏的情况如下图所示：

我们很难降低字符串比较的复杂度（因为比较两个字符串，真的只能逐个比较字符）。因此，我们考虑降低比较的趟数。如果比较的趟数能降到足够低，那么总的复杂度也将会下降很多。　　要优化一个算法，首先要回答的问题是“我手上有什么信息？”　我们手上的信息是否足够、是否有效，决定了我们能把算法优化到何种程度。请记住：尽可能利用残余的信息，是KMP算法的思想所在。

在 Brute-Force 中，如果从 S[i] 开始的那一趟比较失败了，算法会直接开始尝试从 S[i+1] 开始比较。这种行为，属于典型的“没有从之前的错误中学到东西”。我们应当注意到，一次失败的匹配，会给我们提供宝贵的信息——如果 S[i : i+len(P)] 与 P 的匹配是在第 r 个位置失败的，那么从 S[i] 开始的 (r-1) 个连续字符，一定与 P 的前 (r-1) 个字符一模一样！

需要实现的任务是“字符串匹配”，而每一次失败都会给我们换来一些信息——能告诉我们，主串的某一个子串等于模式串的某一个前缀。但是这又有什么用呢？

4、跳过不可能成功的字符串比较

有些趟字符串比较是有可能会成功的；有些则毫无可能。我们刚刚提到过，优化 Brute-Force 的路线是“尽量减少比较的趟数”，而如果我们跳过那些绝不可能成功的字符串比较，则可以希望复杂度降低到能接受的范围。

那么，哪些字符串比较是不可能成功的？来看一个例子。已知信息如下：

• 模式串 P = "abcabd".
• 和主串从S[0]开始匹配时，在 P[5] 处失配。

首先，利用上一节的结论。既然是在 P[5] 失配的，那么说明 S[0:5] 等于 P[0:5]，即"abcab". 现在我们来考虑：从 S[1]、S[2]、S[3] 开始的匹配尝试，有没有可能成功？

从 S[1] 开始肯定没办法成功，因为 S[1] = P[1] = 'b'，和 P[0] 并不相等。从 S[2] 开始也是没戏的，因为 S[2] = P[2] = 'c'，并不等于P[0]. 但是从 S[3] 开始是有可能成功的——至少按照已知的信息，我们推不出矛盾。

带着“跳过不可能成功的尝试”的思想，我们来看next数组。

（1）next数组

next数组是对于模式串而言的。P 的 next 数组定义为：next[i] 表示 P[0] ~ P[i] 这一个子串，使得 前k个字符恰等于后k个字符 的最大的k. 特别地，k不能取i+1（因为这个子串一共才 i+1 个字符，自己肯定与自己相等，就没有意义了）。

上图给出了一个例子。P="abcabd"时，next[4]=2，这是因为P[0] ~ P[4] 这个子串是"abcab"，前两个字符与后两个字符相等，因此next[4]取2. 而next[5]=0，是因为"abcabd"找不到前缀与后缀相同，因此只能取0。

如果把模式串视为一把标尺，在主串上移动，那么 Brute-Force 就是每次失配之后只右移一位；改进算法则是每次失配之后，移很多位，跳过那些不可能匹配成功的位置。但是该如何确定要移多少位呢？

在 S[0] 尝试匹配，失配于 S[3] <=> P[3] 之后，我们直接把模式串往右移了两位，让 S[3] 对准 P[1]. 接着继续匹配，失配于 S[8] <=> P[6], 接下来我们把 P 往右平移了三位，把 S[8] 对准 P[3]. 此后继续匹配直到成功。

我们应该如何移动这把标尺？很明显，如图中蓝色箭头所示，旧的后缀要与新的前缀一致（如果不一致，那就肯定没法匹配上了）！

回忆next数组的性质：P[0] 到 P[i] 这一段子串中，前next[i]个字符与后next[i]个字符一模一样。既然如此，如果失配在 P[r], 那么P[0]~P[r-1]这一段里面，前next[r-1]个字符恰好和后next[r-1]个字符相等——也就是说，我们可以拿长度为 next[r-1] 的那一段前缀，来顶替当前后缀的位置，让匹配继续下去！

您可以验证一下上面的匹配例子：P[3]失配后，把P[next[3-1]]也就是P[1]对准了主串刚刚失配的那一位；P[6]失配后，把P[next[6-1]]也就是P[3]对准了主串刚刚失配的那一位。

如上图所示，绿色部分是成功匹配，失配于红色部分。深绿色手绘线条标出了相等的前缀和后缀，其长度为next[右端]. 由于手绘线条部分的字符是一样的，所以直接把前面那条移到后面那条的位置。因此说，next数组为我们如何移动标尺提供了依据。接下来，我们实现这个优化的算法。

（2）利用next数组进行匹配

了解了利用next数组加速字符串匹配的原理，我们接下来代码实现之。分为两个部分：建立next数组、利用next数组进行匹配。

首先是建立next数组。我们暂且用最朴素的做法，以后再回来优化：

如上图代码所示，直接根据next数组的定义来建立next数组。不难发现它的复杂度是 O(m^2) 的。

接下来，实现利用next数组加速字符串匹配。代码如下：

如何分析这个字符串匹配的复杂度呢？乍一看，pos值可能不停地变成next[pos-1]，代价会很高；但我们使用摊还分析，显然pos值一共顶多自增len(S)次，因此pos值减少的次数不会高于len(S)次。由此，复杂度是可以接受的，不难分析出整个匹配算法的时间复杂度：O(n+m)。

5、快速求next数组

终于来到了我们最后一个问题——如何快速构建next数组。

首先说一句：快速构建next数组，是KMP算法的精髓所在，核心思想是“P自己与自己做匹配”。

为什么这样说呢？回顾next数组的完整定义：

• 定义 “k-前缀” 为一个字符串的前 k 个字符； “k-后缀” 为一个字符串的后 k 个字符。k 必须小于字符串长度。
• next[x] 定义为： P[0]~P[x] 这一段字符串，使得k-前缀恰等于k-后缀的最大的k.

这个定义中，不知不觉地就包含了一个匹配——前缀和后缀相等。接下来，我们考虑采用递推的方式求出next数组。如果next[0], next[1], ... next[x-1]均已知，那么如何求出 next[x] 呢？

来分情况讨论。首先，已经知道了 next[x-1]（以下记为now），如果 P[x] 与 P[now] 一样，那最长相等前后缀的长度就可以扩展一位，很明显 next[x] = now + 1. 图示如下。

刚刚解决了 P[x] = P[now] 的情况。那如果 P[x] 与 P[now] 不一样，又该怎么办？

如图。长度为 now 的子串 A 和子串 B 是 P[0]~P[x-1] 中最长的公共前后缀。可惜 A 右边的字符和 B 右边的那个字符不相等，next[x]不能改成 now+1 了。因此，我们应该缩短这个now，把它改成小一点的值，再来试试 P[x] 是否等于 P[now].

now该缩小到多少呢？显然，我们不想让now缩小太多。因此我们决定，在保持“P[0]~P[x-1]的now-前缀仍然等于now-后缀”的前提下，让这个新的now尽可能大一点。 P[0]~P[x-1] 的公共前后缀，前缀一定落在串A里面、后缀一定落在串B里面。换句话讲：接下来now应该改成：使得 A的k-前缀等于B的K-后缀的最大的k.

您应该已经注意到了一个非常强的性质——串A和串B是相同的！B的后缀等于A的后缀！因此，使得A的k-前缀等于B的k-后缀的最大的k，其实就是串A的最长公共前后缀的长度 —— next[now-1]！

来看上面的例子。当P[now]与P[x]不相等的时候，我们需要缩小now——把now变成next[now-1]，直到P[now]=P[x]为止。P[now]=P[x]时，就可以直接向右扩展了。

代码实现如下：

应用摊还分析，不难证明构建next数组的时间复杂度是O(m)的。至此，我们以O(n+m)的时间复杂度，实现了构建next数组、利用next数组进行字符串匹配。

以上就是KMP算法。它于1977年被提出，全称 Knuth–Morris–Pratt 算法。最后附上KMP算法字符串匹配的Python和Java版代码：