图像处理—小波变换

发布时间:2023年12月20日

小波变换

一维小波变换

因为存在 L 2 ( R ) = V j 0 ⊕ W j 0 ⊕ W j 0 + 1 ⊕ ? L^{2}(\boldsymbol{R})=V_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}+1}\oplus\cdots L2(R)=Vj0??Wj0??Wj0?+1??,所以存在 f ( x ) f(x) f(x)可以在子空间 V j 0 V_{j_0} Vj0??中用尺度函数展开和在子空间 W j 0 W j 0 + 1 , ? W_{j_0}W_{j_{0+1}},\cdots Wj0??Wj0+1??,?中用某些数量的小波函数展开来表示。即

f ( x ) = ∑ k c j 0 ( k ) φ j 0 , k ( x ) + ∑ j = j 0 ∞ ∑ k d j ( k ) ψ j , k ( x ) f(x)=\sum_{k}c_{j_0}(k)\varphi_{j_0,k}(x)+\sum_{j=j_{0}}^{\infty}\sum_{k}d_{j}(k)\psi_{j,k}(x) f(x)=k?cj0??(k)φj0?,k?(x)+j=j0??k?dj?(k)ψj,k?(x)
其中 j 0 j_0 j0? 是任意的开始尺度, c j 0 ( k ) c_{j_0}(k) cj0??(k)通常称为近似和或尺度系数, d j ( k ) d_j(k) dj?(k)称为细节和或小波系数。

由于双正交的性质可得
c j 0 ( k ) = ? f ( x ) , φ j 0 , k ( x ) ? = ∫ f ( x ) φ j 0 , k ( x ) d x d j ( k ) = ? f ( x ) , ψ j , k ( x ) ? = ∫ f ( x ) ψ j , k ( x ) d x c_{j_0}(k)=\Big\langle f(x),\varphi_{j_0,k}(x)\Big\rangle=\int f(x)\varphi_{j_0,k}(x)\mathrm{d}x\\ d_{j}(k)=\Big\langle f(x),\psi_{j,k}(x)\Big\rangle=\int f(x)\psi_{j,k}(x)\mathrm{d}x cj0??(k)=?f(x),φj0?,k?(x)?=f(x)φj0?,k?(x)dxdj?(k)=?f(x),ψj,k?(x)?=f(x)ψj,k?(x)dx
转换成离散形式可得
W φ ( j 0 , k ) = 1 M ∑ n f ( n ) φ j 0 , k ( n ) W ψ ( j , k ) = 1 M ∑ n f ( n ) ψ j , k ( n ) , j ≥ j 0 \begin{aligned} W_{\varphi}(j_{0},k)&=\frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{n}f(n)\varphi_{j_{0},k}(n)\\ W_{\psi}(j,k)&=\frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{n}f(n)\psi_{j,k}(n),\quad j\geq j_{0} \end{aligned} Wφ?(j0?,k)Wψ?(j,k)?=M ?1?n?f(n)φj0?,k?(n)=M ?1?n?f(n)ψj,k?(n),jj0??
其中 φ j 0 , k ( n ) \varphi_{j_0,k}(n) φj0?,k?(n) ψ j , k ( n ) \psi_{j,k}(n) ψj,k?(n)是基函数 φ j 0 , k ( x ) \varphi_{j_0,k}(x) φj0?,k?(x) ψ j , k ( x ) \psi_{j,k}(x) ψj,k?(x) 的取样形式。

由此可得
f ( n ) = 1 M ∑ k W φ ( j 0 , k ) φ j 0 , k ( n ) + 1 M ∑ j = j 0 ∞ ∑ k W ψ ( j , k ) ψ j , k ( n ) f(n)=\frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{k}W_{\varphi}(j_{0},k)\varphi_{j_{0},k}(n)+\frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{j=j_{0}}^{\infty}\sum_{k}W_{\psi}(j,k)\psi_{j,k}(n) f(n)=M ?1?k?Wφ?(j0?,k)φj0?,k?(n)+M ?1?j=j0??k?Wψ?(j,k)ψj,k?(n)
通常 j 0 = 0 j_0=0 j0?=0 M M M为2 的幂(即 M = 2 j ) M=2^{j}) M=2j)

而对于哈尔小波,离散的尺度和小波函数与 M × M M\times M M×M哈尔矩阵的行相对应,其中最小尺度为0,最大尺度为 j ? 1 j-1 j?1

快速小波变换

对于图像的多分辨率变换
φ ( x ) = ∑ n h φ ( n ) 2 φ ( 2 x ? n ) \varphi(x)=\sum_{n}h_{\varphi}(n)\sqrt{2}\varphi(2x-n) φ(x)=n?hφ?(n)2 ?φ(2x?n)
并进行尺度化与平移操作,可得
φ ( 2 j x ? k ) = ∑ n h φ ( n ) 2 φ ( 2 ( 2 j x ? k ) ? n ) = ∑ m h φ ( n ) 2 φ ( 2 j + 1 x ? 2 k ? n ) \begin{aligned} \varphi(2^{j}x-k) &=\sum_{n}h_{\varphi}(n)\sqrt{2}\varphi\left(2(2^{j}x-k)-n\right)\\ &=\sum_{m}h_{\varphi}(n)\sqrt{2}\varphi(2^{j+1}x-2k-n) \end{aligned} φ(2jx?k)?=n?hφ?(n)2 ?φ(2(2jx?k)?n)=m?hφ?(n)2 ?φ(2j+1x?2k?n)?
m = 2 k + n m=2k+n m=2k+n,可得
φ ( 2 j x ? k ) = ∑ n h φ ( n ) 2 φ ( 2 ( 2 j x ? k ) ? n ) = ∑ m h φ ( n ) 2 φ ( 2 j + 1 x ? 2 k ? n ) = ∑ m h φ ( m ? 2 k ) 2 φ ( 2 j + 1 x ? m ) \begin{aligned} \begin{aligned} \varphi(2^{j}x-k) & =\sum_{n}h_{\varphi}(n)\sqrt{2}\varphi\left(2(2^{j}x-k)-n\right)\\ &=\sum_{m}h_{\varphi}(n)\sqrt{2}\varphi(2^{j+1}x-2k-n) \\ &=\sum_{m}h_{\varphi}(m-2k)\sqrt{2}\varphi(2^{j+1}x-m) \end{aligned} \end{aligned} φ(2jx?k)?=n?hφ?(n)2 ?φ(2(2jx?k)?n)=m?hφ?(n)2 ?φ(2j+1x?2k?n)=m?hφ?(m?2k)2 ?φ(2j+1x?m)??
同理对于小波函数存在
ψ ( 2 j x ? k ) = ∑ m h ψ ( m ? 2 k ) 2 φ ( 2 j + 1 x ? m ) \psi(2^{j}x-k)=\sum_{m}h_{\psi}(m-2k)\sqrt{2}\varphi(2^{j+1}x-m) ψ(2jx?k)=m?hψ?(m?2k)2 ?φ(2j+1x?m)
其中将 ψ j , k ( x ) = 2 j / 2 ψ ( 2 j x ? k ) \psi_{j,k}(x)=2^{j/2}\psi(2^{j}x-k) ψj,k?(x)=2j/2ψ(2jx?k)代入 d j ( k ) = ? f ( x ) , ψ j , k ( x ) ? = ∫ f ( x ) ψ j , k ( x ) d x d_{j}(k)=\Big\langle f(x),\psi_{j,k}(x)\Big\rangle=\int f(x)\psi_{j,k}(x)\mathrm{d}x dj?(k)=?f(x),ψj,k?(x)?=f(x)ψj,k?(x)dx可得
d j ( k ) = ∫ f ( x ) 2 j / 2 ψ ( 2 j x ? k ) d x d_{j}(k)=\int f(x)2^{j/2}\psi(2^{j}x-k)\mathrm{d}x dj?(k)=f(x)2j/2ψ(2jx?k)dx
又因为 ψ ( 2 j x ? k ) = ∑ m h ψ ( m ? 2 k ) 2 φ ( 2 j + 1 x ? m ) \psi(2^{j}x-k)=\sum_{m}h_{\psi}(m-2k)\sqrt{2}\varphi(2^{j+1}x-m) ψ(2jx?k)=m?hψ?(m?2k)2 ?φ(2j+1x?m)

所以存在
d j ( k ) = ∫ f ( x ) 2 j / 2 [ ∑ m h ψ ( m ? 2 k ) 2 φ ( 2 j + 1 x ? m ) ] d x = ∑ m h ψ ( m ? 2 k ) [ ∫ f ( x ) 2 ( j + 1 ) / 2 φ ( 2 j + 1 x ? m ) d x ] = ∑ m h ψ ( m ? 2 k ) c j + 1 ( m ) \begin{aligned} d_{j}(k) &=\int f(x)2^{j/2}\biggl[\sum_{m}h_{\psi}(m-2k)\sqrt{2}\varphi(2^{j+1}x-m)\biggr]\mathrm{d}x\\ &=\sum_{m}h_{\psi}(m-2k)\biggl[\int f(x)2^{(j+1)/2}\varphi(2^{j+1}x-m)\mathrm{d}x\biggr]\\ &=\sum_{m}h_{\psi}(m-2k)c_{j+1}(m) \end{aligned} dj?(k)?=f(x)2j/2[m?hψ?(m?2k)2 ?φ(2j+1x?m)]dx=m?hψ?(m?2k)[f(x)2(j+1)/2φ(2j+1x?m)dx]=m?hψ?(m?2k)cj+1?(m)?
同理可得
c j ( k ) = ∑ m h φ ( m ? 2 k ) c j + 1 ( m ) c_{j}(k)=\sum_{m}h_{\varphi}(m-2k)c_{j+1}(m) cj?(k)=m?hφ?(m?2k)cj+1?(m)

W ψ ( j , k ) = ∑ m h ψ ( m ? 2 k ) W φ ( j + 1 , m ) W φ ( j , k ) = ∑ m h φ ( m ? 2 k ) W φ ( j + 1 , m ) \begin{aligned}W_{\psi}(j,k)&=\sum_{m}h_{\psi}(m-2k)W_{\varphi}(j+1,m)\\ W_{\varphi}(j,k)&=\sum_{m}h_{\varphi}(m-2k)W_{\varphi}(j+1,m)\end{aligned} Wψ?(j,k)Wφ?(j,k)?=m?hψ?(m?2k)Wφ?(j+1,m)=m?hφ?(m?2k)Wφ?(j+1,m)?
上式揭示了相邻尺度直接的离散小波变换(DWT)系数之间的关系,可以认为是 W φ ( j + 1 , m ) , W ψ ( j + 1 , m ) W_{\varphi}(j+1,m),W_{\psi}(j+1,m) Wφ?(j+1,m),Wψ?(j+1,m)分别与 h φ ( ? n ) , h ψ ( ? n ) h_{\varphi}(-n),h_{\psi}(-n) hφ?(?n),hψ?(?n)进行卷积操作并下采样得到的,于是可以写成
W ψ ( j , k ) = h ψ ( ? n ) ? W ? ( j + 1 , n ) ∣ n = 2 k , k ? 0 W φ ( j , k ) = h φ ( ? n ) ? W φ ( j + 1 , n ) ∣ n = 2 k , k ? 0 W_{\psi}(j,k)=h_{\psi}(-n)\star W_{\phi}(j+1,n)\Big|_{n=2k,k\geqslant0}\\\\W_{\varphi}(j,k)=h_{\varphi}(-n)\star W_{\varphi}(j+1,n)\Big|_{n=2k,k\geqslant0} Wψ?(j,k)=hψ?(?n)?W??(j+1,n) ?n=2k,k?0?Wφ?(j,k)=hφ?(?n)?Wφ?(j+1,n) ?n=2k,k?0?
即如下图所示的结构

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同时可以经过多次迭代分解,如下图是二级分解的结构

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二维小波变换

为了将小波变换扩展到适应二维的图像,由此定义,存在尺度函数
φ ( x , y ) = φ ( x ) φ ( y ) \varphi(x,y)=\varphi(x)\varphi(y) φ(x,y)=φ(x)φ(y)
以及三个对方向敏感的小波函数
ψ H ( x , y ) = ψ ( x ) φ ( y ) ψ V ( x , y ) = φ ( x ) ψ ( y ) ψ D ( x , y ) = ψ ( x ) ψ ( y ) \begin{aligned} &\psi^{H}(x,y)=\psi(x)\varphi(y) \\ &\psi^{V}(x,y)=\varphi(x)\psi(y) \\ &\psi^{D}(x,y) =\psi(x)\psi(y) \end{aligned} ?ψH(x,y)=ψ(x)φ(y)ψV(x,y)=φ(x)ψ(y)ψD(x,y)=ψ(x)ψ(y)?
以上三个小波函数分别对应图像沿着列方向的变换、图像沿着行方向的变换、图像沿着对角线方向的变换

并存在
φ j , m , n ( x , y ) = 2 j / 2 φ ( 2 j x ? m , 2 j y ? n ) ψ j , m , n i ( x , y ) = 2 j / 2 ψ i ( 2 j x ? m , 2 j y ? n ) , i = { H , V , D } \begin{array}{c}{{\varphi_{j,m,n}(x,y)=2^{j/2}\varphi(2^{j}x-m,2^{j}y-n)}}\\{{\psi_{j,m,n}^{i}(x,y)=2^{j/2}\psi^{i}(2^{j}x-m,2^{j}y-n),i=\bigl\{H,V,D\bigr\}}}\\\end{array} φj,m,n?(x,y)=2j/2φ(2jx?m,2jy?n)ψj,m,ni?(x,y)=2j/2ψi(2jx?m,2jy?n),i={H,V,D}?
并可以推导出离散形式的小波变换
W φ ( j 0 , m , n ) = 1 M N ∑ x = 0 M ? 1 ∑ y = 0 N ? 1 f ( x , y ) φ j 0 , m , n ( x , y ) W ψ i ( j , m , n ) = 1 M N ∑ x = 0 M ? 1 ∑ y = 0 N ? 1 f ( x , y ) ψ j , m , n i ( x , y ) , i = { H , V , D } \begin{aligned} W_{\varphi}(j_{0},m,n)&=\frac{1}{\sqrt{MN}}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)\varphi_{j_{0},m,n}(x,y)\\\\ W_{\psi}^{i}(j,m,n)&=\frac{1}{\sqrt{MN}}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)\psi_{j,m,n}^{i}(x,y),i=\{H,V,D\}\end{aligned} Wφ?(j0?,m,n)Wψi?(j,m,n)?=MN ?1?x=0M?1?y=0N?1?f(x,y)φj0?,m,n?(x,y)=MN ?1?x=0M?1?y=0N?1?f(x,y)ψj,m,ni?(x,y),i={H,V,D}?
其中 j 0 j_0 j0?表示任意的开始尺度, W φ ( j 0 , m , n ) W_{\varphi}(j_{0},m,n) Wφ?(j0?,m,n)表示在尺度为 j 0 j_0 j0?时的近似, W ψ i ( j , m , n ) , i = { H , V , D } W_{\psi}^{i}(j,m,n),i=\{H,V,D\} Wψi?(j,m,n),i={H,V,D}表示对尺度为 j 0 j_0 j0?时的水平、垂直与对角线方向的细节

j 0 = 0 , M = N = 2 j j_0=0,M=N=2^j j0?=0,M=N=2j时,存在离散小波逆变换
f ( x , y ) = 1 M N ∑ m ∑ n W φ ( j 0 , m , n ) φ j 0 , m , n ( x , y ) + 1 M N ∑ i = H . V . D ∑ j = j 0 ∞ ∑ m ∑ n W ψ i ( j , m , n ) ψ j , m , n i ( x , y ) \begin{aligned} f(x,y)& =\frac{1}{\sqrt{MN}}\sum_{m}\sum_{n}W_{\varphi}(j_{0},m,n)\varphi_{j_{0},m,n}(x,y) \\ &+\frac{1}{\sqrt{MN}}\sum_{i=H.V.D}\sum_{j=j_{0}}^{\infty}\sum_{m}\sum_{n}W_{\psi}^{i}(j,m,n)\psi_{j,m,n}^{i}(x,y) \end{aligned} f(x,y)?=MN ?1?m?n?Wφ?(j0?,m,n)φj0?,m,n?(x,y)+MN ?1?i=H.V.D?j=j0??m?n?Wψi?(j,m,n)ψj,m,ni?(x,y)?
同理可以得到

小波分解过程如图所示

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小波逆变换过程如图所示

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其小波分解的结果如图所示

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文章来源:https://blog.csdn.net/qq_43309286/article/details/135101272
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