因为存在 L 2 ( R ) = V j 0 ⊕ W j 0 ⊕ W j 0 + 1 ⊕ ? L^{2}(\boldsymbol{R})=V_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}+1}\oplus\cdots L2(R)=Vj0??⊕Wj0??⊕Wj0?+1?⊕?,所以存在 f ( x ) f(x) f(x)可以在子空间 V j 0 V_{j_0} Vj0??中用尺度函数展开和在子空间 W j 0 W j 0 + 1 , ? W_{j_0}W_{j_{0+1}},\cdots Wj0??Wj0+1??,?中用某些数量的小波函数展开来表示。即
f
(
x
)
=
∑
k
c
j
0
(
k
)
φ
j
0
,
k
(
x
)
+
∑
j
=
j
0
∞
∑
k
d
j
(
k
)
ψ
j
,
k
(
x
)
f(x)=\sum_{k}c_{j_0}(k)\varphi_{j_0,k}(x)+\sum_{j=j_{0}}^{\infty}\sum_{k}d_{j}(k)\psi_{j,k}(x)
f(x)=k∑?cj0??(k)φj0?,k?(x)+j=j0?∑∞?k∑?dj?(k)ψj,k?(x)
其中
j
0
j_0
j0? 是任意的开始尺度,
c
j
0
(
k
)
c_{j_0}(k)
cj0??(k)通常称为近似和或尺度系数,
d
j
(
k
)
d_j(k)
dj?(k)称为细节和或小波系数。
由于双正交的性质可得
c
j
0
(
k
)
=
?
f
(
x
)
,
φ
j
0
,
k
(
x
)
?
=
∫
f
(
x
)
φ
j
0
,
k
(
x
)
d
x
d
j
(
k
)
=
?
f
(
x
)
,
ψ
j
,
k
(
x
)
?
=
∫
f
(
x
)
ψ
j
,
k
(
x
)
d
x
c_{j_0}(k)=\Big\langle f(x),\varphi_{j_0,k}(x)\Big\rangle=\int f(x)\varphi_{j_0,k}(x)\mathrm{d}x\\ d_{j}(k)=\Big\langle f(x),\psi_{j,k}(x)\Big\rangle=\int f(x)\psi_{j,k}(x)\mathrm{d}x
cj0??(k)=?f(x),φj0?,k?(x)?=∫f(x)φj0?,k?(x)dxdj?(k)=?f(x),ψj,k?(x)?=∫f(x)ψj,k?(x)dx
转换成离散形式可得
W
φ
(
j
0
,
k
)
=
1
M
∑
n
f
(
n
)
φ
j
0
,
k
(
n
)
W
ψ
(
j
,
k
)
=
1
M
∑
n
f
(
n
)
ψ
j
,
k
(
n
)
,
j
≥
j
0
\begin{aligned} W_{\varphi}(j_{0},k)&=\frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{n}f(n)\varphi_{j_{0},k}(n)\\ W_{\psi}(j,k)&=\frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{n}f(n)\psi_{j,k}(n),\quad j\geq j_{0} \end{aligned}
Wφ?(j0?,k)Wψ?(j,k)?=M?1?n∑?f(n)φj0?,k?(n)=M?1?n∑?f(n)ψj,k?(n),j≥j0??
其中
φ
j
0
,
k
(
n
)
\varphi_{j_0,k}(n)
φj0?,k?(n) 和
ψ
j
,
k
(
n
)
\psi_{j,k}(n)
ψj,k?(n)是基函数
φ
j
0
,
k
(
x
)
\varphi_{j_0,k}(x)
φj0?,k?(x) 和
ψ
j
,
k
(
x
)
\psi_{j,k}(x)
ψj,k?(x) 的取样形式。
由此可得
f
(
n
)
=
1
M
∑
k
W
φ
(
j
0
,
k
)
φ
j
0
,
k
(
n
)
+
1
M
∑
j
=
j
0
∞
∑
k
W
ψ
(
j
,
k
)
ψ
j
,
k
(
n
)
f(n)=\frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{k}W_{\varphi}(j_{0},k)\varphi_{j_{0},k}(n)+\frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{j=j_{0}}^{\infty}\sum_{k}W_{\psi}(j,k)\psi_{j,k}(n)
f(n)=M?1?k∑?Wφ?(j0?,k)φj0?,k?(n)+M?1?j=j0?∑∞?k∑?Wψ?(j,k)ψj,k?(n)
通常
j
0
=
0
j_0=0
j0?=0,
M
M
M为2 的幂(即
M
=
2
j
)
M=2^{j})
M=2j)
而对于哈尔小波,离散的尺度和小波函数与 M × M M\times M M×M哈尔矩阵的行相对应,其中最小尺度为0,最大尺度为 j ? 1 j-1 j?1
对于图像的多分辨率变换
φ
(
x
)
=
∑
n
h
φ
(
n
)
2
φ
(
2
x
?
n
)
\varphi(x)=\sum_{n}h_{\varphi}(n)\sqrt{2}\varphi(2x-n)
φ(x)=n∑?hφ?(n)2?φ(2x?n)
并进行尺度化与平移操作,可得
φ
(
2
j
x
?
k
)
=
∑
n
h
φ
(
n
)
2
φ
(
2
(
2
j
x
?
k
)
?
n
)
=
∑
m
h
φ
(
n
)
2
φ
(
2
j
+
1
x
?
2
k
?
n
)
\begin{aligned} \varphi(2^{j}x-k) &=\sum_{n}h_{\varphi}(n)\sqrt{2}\varphi\left(2(2^{j}x-k)-n\right)\\ &=\sum_{m}h_{\varphi}(n)\sqrt{2}\varphi(2^{j+1}x-2k-n) \end{aligned}
φ(2jx?k)?=n∑?hφ?(n)2?φ(2(2jx?k)?n)=m∑?hφ?(n)2?φ(2j+1x?2k?n)?
令
m
=
2
k
+
n
m=2k+n
m=2k+n,可得
φ
(
2
j
x
?
k
)
=
∑
n
h
φ
(
n
)
2
φ
(
2
(
2
j
x
?
k
)
?
n
)
=
∑
m
h
φ
(
n
)
2
φ
(
2
j
+
1
x
?
2
k
?
n
)
=
∑
m
h
φ
(
m
?
2
k
)
2
φ
(
2
j
+
1
x
?
m
)
\begin{aligned} \begin{aligned} \varphi(2^{j}x-k) & =\sum_{n}h_{\varphi}(n)\sqrt{2}\varphi\left(2(2^{j}x-k)-n\right)\\ &=\sum_{m}h_{\varphi}(n)\sqrt{2}\varphi(2^{j+1}x-2k-n) \\ &=\sum_{m}h_{\varphi}(m-2k)\sqrt{2}\varphi(2^{j+1}x-m) \end{aligned} \end{aligned}
φ(2jx?k)?=n∑?hφ?(n)2?φ(2(2jx?k)?n)=m∑?hφ?(n)2?φ(2j+1x?2k?n)=m∑?hφ?(m?2k)2?φ(2j+1x?m)??
同理对于小波函数存在
ψ
(
2
j
x
?
k
)
=
∑
m
h
ψ
(
m
?
2
k
)
2
φ
(
2
j
+
1
x
?
m
)
\psi(2^{j}x-k)=\sum_{m}h_{\psi}(m-2k)\sqrt{2}\varphi(2^{j+1}x-m)
ψ(2jx?k)=m∑?hψ?(m?2k)2?φ(2j+1x?m)
其中将
ψ
j
,
k
(
x
)
=
2
j
/
2
ψ
(
2
j
x
?
k
)
\psi_{j,k}(x)=2^{j/2}\psi(2^{j}x-k)
ψj,k?(x)=2j/2ψ(2jx?k)代入
d
j
(
k
)
=
?
f
(
x
)
,
ψ
j
,
k
(
x
)
?
=
∫
f
(
x
)
ψ
j
,
k
(
x
)
d
x
d_{j}(k)=\Big\langle f(x),\psi_{j,k}(x)\Big\rangle=\int f(x)\psi_{j,k}(x)\mathrm{d}x
dj?(k)=?f(x),ψj,k?(x)?=∫f(x)ψj,k?(x)dx可得
d
j
(
k
)
=
∫
f
(
x
)
2
j
/
2
ψ
(
2
j
x
?
k
)
d
x
d_{j}(k)=\int f(x)2^{j/2}\psi(2^{j}x-k)\mathrm{d}x
dj?(k)=∫f(x)2j/2ψ(2jx?k)dx
又因为
ψ
(
2
j
x
?
k
)
=
∑
m
h
ψ
(
m
?
2
k
)
2
φ
(
2
j
+
1
x
?
m
)
\psi(2^{j}x-k)=\sum_{m}h_{\psi}(m-2k)\sqrt{2}\varphi(2^{j+1}x-m)
ψ(2jx?k)=∑m?hψ?(m?2k)2?φ(2j+1x?m)
所以存在
d
j
(
k
)
=
∫
f
(
x
)
2
j
/
2
[
∑
m
h
ψ
(
m
?
2
k
)
2
φ
(
2
j
+
1
x
?
m
)
]
d
x
=
∑
m
h
ψ
(
m
?
2
k
)
[
∫
f
(
x
)
2
(
j
+
1
)
/
2
φ
(
2
j
+
1
x
?
m
)
d
x
]
=
∑
m
h
ψ
(
m
?
2
k
)
c
j
+
1
(
m
)
\begin{aligned} d_{j}(k) &=\int f(x)2^{j/2}\biggl[\sum_{m}h_{\psi}(m-2k)\sqrt{2}\varphi(2^{j+1}x-m)\biggr]\mathrm{d}x\\ &=\sum_{m}h_{\psi}(m-2k)\biggl[\int f(x)2^{(j+1)/2}\varphi(2^{j+1}x-m)\mathrm{d}x\biggr]\\ &=\sum_{m}h_{\psi}(m-2k)c_{j+1}(m) \end{aligned}
dj?(k)?=∫f(x)2j/2[m∑?hψ?(m?2k)2?φ(2j+1x?m)]dx=m∑?hψ?(m?2k)[∫f(x)2(j+1)/2φ(2j+1x?m)dx]=m∑?hψ?(m?2k)cj+1?(m)?
同理可得
c
j
(
k
)
=
∑
m
h
φ
(
m
?
2
k
)
c
j
+
1
(
m
)
c_{j}(k)=\sum_{m}h_{\varphi}(m-2k)c_{j+1}(m)
cj?(k)=m∑?hφ?(m?2k)cj+1?(m)
即
W
ψ
(
j
,
k
)
=
∑
m
h
ψ
(
m
?
2
k
)
W
φ
(
j
+
1
,
m
)
W
φ
(
j
,
k
)
=
∑
m
h
φ
(
m
?
2
k
)
W
φ
(
j
+
1
,
m
)
\begin{aligned}W_{\psi}(j,k)&=\sum_{m}h_{\psi}(m-2k)W_{\varphi}(j+1,m)\\ W_{\varphi}(j,k)&=\sum_{m}h_{\varphi}(m-2k)W_{\varphi}(j+1,m)\end{aligned}
Wψ?(j,k)Wφ?(j,k)?=m∑?hψ?(m?2k)Wφ?(j+1,m)=m∑?hφ?(m?2k)Wφ?(j+1,m)?
上式揭示了相邻尺度直接的离散小波变换(DWT)系数之间的关系,可以认为是
W
φ
(
j
+
1
,
m
)
,
W
ψ
(
j
+
1
,
m
)
W_{\varphi}(j+1,m),W_{\psi}(j+1,m)
Wφ?(j+1,m),Wψ?(j+1,m)分别与
h
φ
(
?
n
)
,
h
ψ
(
?
n
)
h_{\varphi}(-n),h_{\psi}(-n)
hφ?(?n),hψ?(?n)进行卷积操作并下采样得到的,于是可以写成
W
ψ
(
j
,
k
)
=
h
ψ
(
?
n
)
?
W
?
(
j
+
1
,
n
)
∣
n
=
2
k
,
k
?
0
W
φ
(
j
,
k
)
=
h
φ
(
?
n
)
?
W
φ
(
j
+
1
,
n
)
∣
n
=
2
k
,
k
?
0
W_{\psi}(j,k)=h_{\psi}(-n)\star W_{\phi}(j+1,n)\Big|_{n=2k,k\geqslant0}\\\\W_{\varphi}(j,k)=h_{\varphi}(-n)\star W_{\varphi}(j+1,n)\Big|_{n=2k,k\geqslant0}
Wψ?(j,k)=hψ?(?n)?W??(j+1,n)
?n=2k,k?0?Wφ?(j,k)=hφ?(?n)?Wφ?(j+1,n)
?n=2k,k?0?
即如下图所示的结构
同时可以经过多次迭代分解,如下图是二级分解的结构
为了将小波变换扩展到适应二维的图像,由此定义,存在尺度函数
φ
(
x
,
y
)
=
φ
(
x
)
φ
(
y
)
\varphi(x,y)=\varphi(x)\varphi(y)
φ(x,y)=φ(x)φ(y)
以及三个对方向敏感的小波函数
ψ
H
(
x
,
y
)
=
ψ
(
x
)
φ
(
y
)
ψ
V
(
x
,
y
)
=
φ
(
x
)
ψ
(
y
)
ψ
D
(
x
,
y
)
=
ψ
(
x
)
ψ
(
y
)
\begin{aligned} &\psi^{H}(x,y)=\psi(x)\varphi(y) \\ &\psi^{V}(x,y)=\varphi(x)\psi(y) \\ &\psi^{D}(x,y) =\psi(x)\psi(y) \end{aligned}
?ψH(x,y)=ψ(x)φ(y)ψV(x,y)=φ(x)ψ(y)ψD(x,y)=ψ(x)ψ(y)?
以上三个小波函数分别对应图像沿着列方向的变换、图像沿着行方向的变换、图像沿着对角线方向的变换
并存在
φ
j
,
m
,
n
(
x
,
y
)
=
2
j
/
2
φ
(
2
j
x
?
m
,
2
j
y
?
n
)
ψ
j
,
m
,
n
i
(
x
,
y
)
=
2
j
/
2
ψ
i
(
2
j
x
?
m
,
2
j
y
?
n
)
,
i
=
{
H
,
V
,
D
}
\begin{array}{c}{{\varphi_{j,m,n}(x,y)=2^{j/2}\varphi(2^{j}x-m,2^{j}y-n)}}\\{{\psi_{j,m,n}^{i}(x,y)=2^{j/2}\psi^{i}(2^{j}x-m,2^{j}y-n),i=\bigl\{H,V,D\bigr\}}}\\\end{array}
φj,m,n?(x,y)=2j/2φ(2jx?m,2jy?n)ψj,m,ni?(x,y)=2j/2ψi(2jx?m,2jy?n),i={H,V,D}?
并可以推导出离散形式的小波变换
W
φ
(
j
0
,
m
,
n
)
=
1
M
N
∑
x
=
0
M
?
1
∑
y
=
0
N
?
1
f
(
x
,
y
)
φ
j
0
,
m
,
n
(
x
,
y
)
W
ψ
i
(
j
,
m
,
n
)
=
1
M
N
∑
x
=
0
M
?
1
∑
y
=
0
N
?
1
f
(
x
,
y
)
ψ
j
,
m
,
n
i
(
x
,
y
)
,
i
=
{
H
,
V
,
D
}
\begin{aligned} W_{\varphi}(j_{0},m,n)&=\frac{1}{\sqrt{MN}}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)\varphi_{j_{0},m,n}(x,y)\\\\ W_{\psi}^{i}(j,m,n)&=\frac{1}{\sqrt{MN}}\sum_{x=0}^{M-1}\sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)\psi_{j,m,n}^{i}(x,y),i=\{H,V,D\}\end{aligned}
Wφ?(j0?,m,n)Wψi?(j,m,n)?=MN?1?x=0∑M?1?y=0∑N?1?f(x,y)φj0?,m,n?(x,y)=MN?1?x=0∑M?1?y=0∑N?1?f(x,y)ψj,m,ni?(x,y),i={H,V,D}?
其中
j
0
j_0
j0?表示任意的开始尺度,
W
φ
(
j
0
,
m
,
n
)
W_{\varphi}(j_{0},m,n)
Wφ?(j0?,m,n)表示在尺度为
j
0
j_0
j0?时的近似,
W
ψ
i
(
j
,
m
,
n
)
,
i
=
{
H
,
V
,
D
}
W_{\psi}^{i}(j,m,n),i=\{H,V,D\}
Wψi?(j,m,n),i={H,V,D}表示对尺度为
j
0
j_0
j0?时的水平、垂直与对角线方向的细节
当
j
0
=
0
,
M
=
N
=
2
j
j_0=0,M=N=2^j
j0?=0,M=N=2j时,存在离散小波逆变换
f
(
x
,
y
)
=
1
M
N
∑
m
∑
n
W
φ
(
j
0
,
m
,
n
)
φ
j
0
,
m
,
n
(
x
,
y
)
+
1
M
N
∑
i
=
H
.
V
.
D
∑
j
=
j
0
∞
∑
m
∑
n
W
ψ
i
(
j
,
m
,
n
)
ψ
j
,
m
,
n
i
(
x
,
y
)
\begin{aligned} f(x,y)& =\frac{1}{\sqrt{MN}}\sum_{m}\sum_{n}W_{\varphi}(j_{0},m,n)\varphi_{j_{0},m,n}(x,y) \\ &+\frac{1}{\sqrt{MN}}\sum_{i=H.V.D}\sum_{j=j_{0}}^{\infty}\sum_{m}\sum_{n}W_{\psi}^{i}(j,m,n)\psi_{j,m,n}^{i}(x,y) \end{aligned}
f(x,y)?=MN?1?m∑?n∑?Wφ?(j0?,m,n)φj0?,m,n?(x,y)+MN?1?i=H.V.D∑?j=j0?∑∞?m∑?n∑?Wψi?(j,m,n)ψj,m,ni?(x,y)?
同理可以得到
小波分解过程如图所示
小波逆变换过程如图所示
其小波分解的结果如图所示