计算机基础知识——数据的表示概述

将二进制数转换为八进制数，只有将每3个二进制数转换为八进制数即可，将二进制数转换为十
六进制数，只要将每4个二进制数转换为八进制数即可。将八进制数转换为二进制数，只要将每个八进制数转换为3位二进制数即可，将十六进制数转换为二进制数，只要将每个十六进制数转换为4位二进制数即可。上面的转换都是以小数点作为计算数码个数的起点。八进制数和十六进制数转换可先转换为二进制数，然后再转换为目标进制。
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2 码值：原码、反码、补码

2.1 原码

将最高位用做符号位（0表示正数，1表示负数），其余各位代表数值本身的绝对值的表示形
式。这种方式是最容易理解的。
例如，+11的原码是00001011,–11 的原码是10001011。
但是直接使用原码在计算时却会有麻烦，比如（1）+（–1）?= 0,如果直接使用原码则：
(00000001)B + (1000001)B = (10000010)B
这样计算的结果是–2(十进制)，也就是说，使用原码直接参与计算可能会出现错误的结果。所以，原码的符号位不能直接参与计算，必须和其他位分开，这样会增加硬件的开销和复杂性。

2.2 反码

正数的反码与原码相同。负数的反码符号位为1,其余各位为该数绝对值的原码按位取反。这个取反的过程使得这种编码称为"反码"。
例如，–11的反码：11110100
同样对上面的加法，使用反码的结果是：
(00000001)B + (11111110)B?= (11111111)B
这样的结果是负0，而在人们普遍的观念中，0是不分正负的。反码的符号位可以直接参与计算，
而且减法也可以转换为加法计算。
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2.3 补码

正数的补码与原码相同。负数的补码是该数的反码加1,这个加1就是"补"。
例如，–11的补码：11110100+1 = 11110101
再次做加法是这样的：
(00000001)B?+ (11111111)B?= (00000000)B
直接使用补码进行计算的结果是正确的。注意到我们这里只是举例，并非证明。
对一个补码表示的数，要计算其原码，只要对它再次求补，可得该数的原码。
由于补码能使符号位与有效值部分一起参加运算，从而简化运算规则，同时它也使减法运算转
换为加法运算，进一步简化计算机中运算器的电路，这使得在大部分计算机系统中，数据都使用补
码表示。

3 浮点数表示

定点数和浮动数的区别在于如何对待小数点，在运算方式上也不相同，衡量一个计算机系统，定点运算和浮点运算是两个重要的指标。定点数的小数点是隐含的，固定在某个位置。如果该位置是在数的最低位之后，就是定点整数。定点数表示比较简单，运算规则也比较容易实现，但是当数值范围变化大时，使用定点数表示和运算就比较困难。
为了表示更大范围的数值，可以使用浮点数表示法。
在表示一个很大的数时，我们常常使用一种称为科学计数法的方式：
$N=M*R^{e}$
其中M称为尾数，e是指数，R为基数。
浮点数就是使用这种方法来表示大范围的数，其中指数一般是2,8,16.而且对于特定机器而言，指数是固定不变的，所以在浮点数中指数并不出现。从这个表达式可以看出：浮点数表示的精读取决于尾数的宽度，范围取决于基数的大小和指数的宽度。
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3.1 浮点数的运算

浮动数运算过程比定点数复杂，包括以下过程：
1）对阶
首先计算两个数的指数差，把指数小的向指数大的对齐，并将尾数右移指数差的位数，这样两个浮点数就完成了对阶的操作。可以看出，对阶的过程可能使得指数小的浮点数失去一些有效位。
如果两个浮点数阶数相差很大，大于指数小的浮点数的尾数宽度，那么对阶后那个浮点数的尾数就
变成了0,即当做机器零处理了。
2）尾数计算
对阶完成后，两个浮点数尾数就如同定点数，计算过程同定点数计算。
3）结果格式化
尾数计算后，可能会产生溢出，此时将尾数右移，同时指数加1,如果指数加1后发生了溢出，则
表示两个浮点数的运算发生了溢出。
如果尾数计算没有溢出，则尾数不断左移，同时指数减1,直到尾数为格式化数。如果这个过程
中，指数小于机器能表达的最小数，则将结果置"机器零",这种情况称为下溢。

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