求解器的可行解存在一个允许的误差范围

在模型计算中，由于浮点计算的存在，包括数学建模当中常用的大M法等，都可能会使得结果存在轻微偏离预期的情况。然而，对于一些一定范围内的轻微偏移，我们常常是能够接受的，因为这些轻微的偏移能通过简单的调整变成合理的结果，且这些允许的轻微偏移，往往能够使得求解器的效率更高。

在求解器中，对可行解最优解等，都会有一个容忍误差，这个误差使得结果的轻微偏移并不改变相应的性质，这种对精度的放松也是求解器提高效率的一个技巧，以下对求解器的几种容忍误差进行解释：

1. 整数值的容忍误差：倘若一个变量 $x$ 被要求是整数类型，则容忍该变量值在取整数值的一定小的范围内视为是整数。公式为满足：
   $abs(x?floor(x+0.5))\le InteasTol$ 时，视变量为整数值；
2. 可行解的容忍误差：满足所有约束的解为可行解，但仅轻微地违背部分约束的解有时也可以被视为可行解，这取决于对约束违背量的容忍度，例如对于约束 $ax\le b$，则只要 $ax?b\le FeasibilityTol$，则视为约束是成立的，在这个范围内的解也被视为是可行的，如下例子所示，用Gurobi求解一个明显无可行解的问题，但求解器最终还是给出了一个“可行解”：

$\begin{array}{rl}\min & 0\\ s.t.& x\le 0\\ & x\ge 10^{?10}\end{array}$

import gurobipy as grb

model = grb.Model()
x = model.addVar(vtype=grb.GRB.INTEGER, name='x')
model.addConstr(x <= 0)
model.addConstr(x >= 10e-10)
model.setObjective(0, sense=grb.GRB.MINIMIZE)
model.optimize()

Solution count 1: 0

Optimal solution found (tolerance 1.00e-04)
Best objective 0.000000000000e+00, best bound 0.000000000000e+00, gap 0.0000%
目标函数值： 0.0
参数 x = -0.0

3. 最优值的容忍误差：根据强对偶定理，线性问题取到最优解时原问题的最优值 $c$ 和对偶问题的最优值 $ay$ 是重合的，对于最小化的优化问题，$ay\le c$，当两个值的差距达到容忍误差范围内时，认为达到了最优，即 $ay?c\le OptimalityTol$。

这些容忍误差使得在搜索空间中，存在一个模糊的区域，这些区域的值基于一定的误差被我们接受，甚至于稍微不可行的解也可以被视为是可行的，因此对于不同的求解器而言，可能存在不同的容忍水平，使得问题的求解结果出现一定的差异。