为什么使用 atan2(sin(z), cos(z)) 进行角度归一化？

atan2 方法返回 -π 到 π 之间的值，代表点 (x, y) 相对于正X轴的偏移角度。这个角度是逆时针测量的，以弧度为单位。关于 atan2 函数为什么能够用于角度归一化，并且为什么 atan2(sin(z), cos(z)) 返回的角度等同于原始角度 z 的归一化值，让我们详细探讨一下：

为什么使用 atan2(sin(z), cos(z)) 进行归一化？

1. 周期性:
   • sin(z) 和 cos(z) 函数都是周期性的，它们的值对于 z 和 z + 2πk（其中 k 是任意整数）是相同的。这意味着无论 z 的初始值如何，sin(z) 和 cos(z) 总是将其映射回一个周期内。

2. 单位圆的表示:
   • 点 (cos(z), sin(z)) 表示在单位圆上的一个点，其中 z 是从正X轴到这个点的逆时针角度。
   • 因此，无论 z 的原始值是多少，点 (cos(z), sin(z)) 都是 z 对应的单位圆上的相同点。

3. atan2 的作用:
   • atan2 函数计算从正X轴到点 (x, y) 的逆时针角度。当使用 (cos(z), sin(z)) 作为输入时，它实际上是在计算从正X轴到单位圆上 z 角度对应的点的角度。
   • 因此，atan2(sin(z), cos(z)) 返回的就是 z 对应的角度，但被归一化到了 -π 到 π 的范围内。

为什么归一化后的角度等于原始角度？

• 假设 z 已经在 -π 到 π 的范围内，则 atan2(sin(z), cos(z)) 直接返回 z。
• 如果 z 不在这个范围内，比如 z = π + δ（其中 δ 是一个小于 π 的正数），那么 sin(z) 和 cos(z) 的值将与 sin(π + δ) 和 cos(π + δ) 相同，即 sin(δ) 和 -cos(δ)。在这种情况下，atan2 将计算出 -π + δ，这是 π + δ 的归一化值。

总结来说，atan2(sin(z), cos(z)) 之所以能够正确归一化角度，是因为它结合了三角函数的周期性和 atan2 函数计算点在单位圆上角度的能力，从而能够将任意角度 z 映射到 -π 到 π 的标准

范围内。这种方法不仅适用于将角度归一化到一个标准范围，而且确保了原始角度的方向和大小在单位圆上得到正确的表示和计算。