Openjudge 7834:分成互质组题解

前言：

查了几个小时，真的查裂开了，所以我必须吐槽一下

原题目：OpenJudge - 7834:分成互质组

问题描述：

给定n个正整数，将它们分组，使得每组中任意两个数互质。至少要分成多少个组？

输入格式

第一行是一个正整数n。1 <= n <= 10。
第二行是n个不大于10000的正整数。

输出格式

一个正整数，即最少需要的组数。

样例输入

6

14 20 33 117 143 175

样例输出

3

问题解释

几组问题的解（如下）

由于数据不太大，所以我们可以用搜索的方式解决，先将数字分组，再进行判断，保留最优值ans(组数)

搜索

在这里，我运用了动态数组vector，它可以自动开辟数组大小

vetcor<int> v[15] 表示：15个组的动态数组v[]

核心代码如下：

v[1].push_back(a[1]);
开辟第一组，所以a[1]只能放入第一组

dfs(2,1);
搜索第二个数，当前组数为1

void dfs(int t,int num)  搜索第t个数字的情况，目前开辟的组数
{	
    if (num>ans) return ; 
    剪枝，如果组数已经大于最优值ans,就没有再搜的必要了

	if (t==n+1)
	{
        已经将n个数都分好了组，接下来进行判断

		if (pd(num)) ans=min(ans,num);
        如果符合条件，则将ans更新为当前的组数
        
		return ;
        结束，返回上一层（必须写）
	}
    
	for (int j=1;j<=num+1;j++)
	{
		v[j].push_back(a[t]);
        将a[t]放入第j组

		dfs(t+1,max(num,j));
        下一层搜索，如果j=num+1>num，表示为a[t]单独开辟一组

		v[j].pop_back();
        回溯，将a[t]从j组拿出，重新放进别的组
	}
}

判断当前分的数是否满足条件：?

bool pd(int m)
{
    判断当前分组是否满足条件
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
        查看第i组
        
		int len=v[i].size();
        len记录当前i组有多少个数
        
		for (int j=0;j<len;j++)
		{
            注意：动态数组将数放入组时，从0号开始放

			for (int k=j+1;k<len;k++)
			{
                判断两两间是否互质（最大公约数gcd==1）

				if (gcd(v[i][j],v[i][k])!=1) return false;
                不满足，返回false(假) 
			}
		}
	}
	return true;
    满足条件，返回true(真)
}

求两数的最大公约数：

int gcd(int x,int y)
{
	int r=x%y;
	while (r)
	{
		x=y;
		y=r;
		r=x%y;
	}
	return y;
    辗转相除法
}

图形化证明：

在看了许多证明，我认为都没有解释的很清楚，所以我选择用我的方法证明一下

根据上面的代码，我们将其带入，要求的最大公约数x，就是能用x*x的小正方形围成a*b的最大正方形，用当前的短边b*b填充a*b，留下的面积是长边为b，所以在剩下的面积中找出的正方形，一定能围成b*b的正方形，依次类推，求出恰好能填充剩余面积的小正方形，它的边长就是a和b的最大公约数

Ac代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,r,ans=25;
vector<int> v[15];
int a[25];
int gcd(int x,int y)
{
	int r=x%y;
	while (r)
	{
		x=y;
		y=r;
		r=x%y;
	}
	return y;
}
bool pd(int m)
{
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int len=v[i].size();
		for (int j=0;j<len;j++)
		{
			for (int k=j+1;k<len;k++)
			{
				if (gcd(v[i][j],v[i][k])!=1) return false; 
			}
		}
	}
	return true;
}
void dfs(int t,int num)
{	
	if (num>ans) return ; 
	if (t==n+1)
	{
		if (pd(num)) ans=min(ans,num);
		return ;
	}
	for (int j=1;j<=num+1;j++)
	{
		v[j].push_back(a[t]);
		dfs(t+1,max(num,j));
		v[j].pop_back();
	}
}
int main ()
{
	int i,j;
	cin>>n;
	for (i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	}
	v[1].push_back(a[1]);
	dfs(2,1);
	cout<<ans;
	return 0;
}

成功Ac，完结撒花~！

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