例 1.1 设
f
(
x
+
1
x
)
=
x
+
x
3
1
+
x
4
,
x
?
2
f\left(x+\frac{1}{x}\right)=\frac{x+x^{3}}{1+x ^{4}}, x \geqslant 2
f(x+x1?)=1+x4x+x3?,x?2, 则
f
(
x
)
=
f(x)=
f(x)=
例 1.2 设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的定义域为
(
0
,
+
∞
)
(0,+\infty)
(0,+∞), 且满足
2
f
(
x
)
+
x
2
f
(
1
x
)
=
x
2
+
2
x
1
+
x
2
2 f(x)+x^{2} f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{x^{2}+2 x}{\sqrt{1+x^{2}}}
2f(x)+x2f(x1?)=1+x2?x2+2x?, 则
f
(
x
)
=
f(x)=
f(x)=
1.1 设
f
(
x
)
f(x)
f(x) 满足
2
f
(
x
)
+
f
(
1
?
x
)
=
x
2
2 f(x)+f(1-x)=x^2
2f(x)+f(1?x)=x2, 则
f
(
x
)
=
f(x)=
f(x)=
例 1.3 求函数
y
=
f
(
x
)
=
ln
?
(
x
+
x
2
+
1
)
y=f(x)=\ln (x+\sqrt{x^2+1})
y=f(x)=ln(x+x2+1?) 的反函数
f
?
1
(
x
)
f^{-1}(x)
f?1(x) 的表达式及其定义域.:
奇函数
1.2 求函数
y
=
1
2
(
e
x
?
e
?
x
)
y=\frac{1}{2}\left(e^x-e^{-x}\right)
y=21?(ex?e?x) 的反函数
y
=
f
?
1
(
x
)
y=f^{-1}(x)
y=f?1(x) 。
例 1.4 设
f
(
x
)
=
x
2
,
f
[
φ
(
x
)
]
=
?
x
2
+
2
x
+
3
f(x)=x^2, f[\varphi(x)]=-x^2+2 x+3
f(x)=x2,f[φ(x)]=?x2+2x+3, 且
φ
(
x
)
?
0
\varphi(x) \geqslant 0
φ(x)?0, 求
φ
(
x
)
\varphi(x)
φ(x) 及其定义域与值域
例 1.5 设
g
(
x
)
=
{
2
?
x
,
x
?
0
,
2
+
x
,
x
>
0
,
f
(
x
)
=
{
x
2
,
x
<
0
,
?
x
?
1
,
x
?
0
,
g(x)=\left\{\begin{array}{l}2-x, x \leqslant 0, \\ 2+x, x>0,\end{array} f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & x<0, \\ -x-1, & x \geqslant 0,\end{array}\right.\right.
g(x)={2?x,x?0,2+x,x>0,?f(x)={x2,?x?1,?x<0,x?0,? 则
g
[
f
(
x
)
]
=
g[f(x)]=
g[f(x)]=.
1.3 设
f
(
x
)
=
2
x
+
x
2
+
2
x
+
1
,
g
(
x
)
=
{
x
+
2
,
x
?
0
x
?
1
,
x
<
0
f(x)=2 x+\sqrt{x^2+2 x+1}, g(x)= \begin{cases}x+2, & x \geqslant 0 \\ x-1, & x<0\end{cases}
f(x)=2x+x2+2x+1?,g(x)={x+2,x?1,?x?0x<0?则
g
[
f
(
x
)
]
=
g[f(x)]=
g[f(x)]=
例 1.6 证明函数
f
(
x
)
=
x
1
+
x
2
f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}
f(x)=1+x2x? 在
(
?
∞
,
+
∞
)
(-\infty,+\infty)
(?∞,+∞) 内有界.
例 1.7 设
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
(
?
∞
,
+
∞
)
(-\infty,+\infty)
(?∞,+∞) 上有定义, 任给
x
1
,
x
2
,
x
1
≠
x
2
x_{1}, x_{2}, x_{1} \neq x_{2}
x1?,x2?,x1??=x2?, 均有
(
x
1
?
x
2
)
?
[
f
(
x
1
)
?
f
(
x
2
)
]
>
0
\left(x_{1}-x_{2}\right) \cdot\left[f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right]>0
(x1??x2?)?[f(x1?)?f(x2?)]>0,则以下函数一定单调增加的是
(
)
(\quad)
().
(A)
∣
f
(
x
)
∣
|f(x)|
∣f(x)∣
(B)
f
(
∣
x
∣
)
f(|x|)
f(∣x∣)
(C)
f
(
?
x
)
f(-x)
f(?x)
(D)
?
f
(
?
x
)
-f(-x)
?f(?x)
例 1.8 设对任意
x
,
y
x, y
x,y, 都有
f
(
x
+
y
)
=
f
(
x
)
+
f
(
y
)
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x+y)=f(x)+f(y), 证明:
f
(
x
)
f(x)
f(x) 是奇函数.
1.5 设
f
(
x
)
=
x
x
2
,
x
∈
R
f(x)=x \sqrt{x^2}, \quad x \in R
f(x)=xx2?,x∈R
(1) 判别
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的奇偶性。
(2)
计
算
∫
?
1
1
(
x
x
2
+
2
)
d
x
计算\int_{-1}^1\left(x \sqrt{x^2}+2\right) d x
计算∫?11?(xx2?+2)dx.
1.6 设
f
(
x
)
=
2
x
?
1
2
x
+
1
,
x
∈
R
f(x)=\frac{2^x-1}{2^x+1}, x \in R
f(x)=2x+12x?1?,x∈R
(1) 判别
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的奇偶性
(2) 计算
∫
?
1
1
1
2
x
+
1
d
x
\int_{-1}^1 \frac{1}{2^x+1} d x
∫?11?2x+11?dx.
例 1.10 设
0
<
x
<
1
2
0<x<\frac{1}{2}
0<x<21?, 求
y
(
x
)
=
x
6
(
1
?
x
)
2
(
1
?
2
x
)
4
y(x)=x^{6}(1-x)^{2}(1-2 x)^{4}
y(x)=x6(1?x)2(1?2x)4 的最大值点.
1.7 设某项目用于研发和宣传的总成本为
a
a
a(万元),当研发和宣发使用成本分别为
x
x
x(万元)和
y
y
y(万元)时,收益为
R
=
2
x
1
3
y
1
2
R=2 x^{\frac{1}{3}} y^{\frac{1}{2}}
R=2x31?y21?,则收益最大时,研发所用成本为?
例 1.11 已知
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
,
x
∈
R
\mathrm{e}^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n !}, x \in \mathbf{R}
ex=∑n=0∞?n!xn?,x∈R, 则
2
x
=
(
)
2^{x}=(\quad)
2x=().
(A)
∑
n
=
1
∞
(
x
ln
?
2
)
n
n
!
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x \ln 2)^{n}}{n !}
∑n=1∞?n!(xln2)n?
(B)
∑
n
=
0
∞
(
x
ln
?
2
)
n
n
!
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x \ln 2)^{n}}{n !}
∑n=0∞?n!(xln2)n?
(C)
∑
n
=
1
∞
(
ln
?
2
)
x
n
n
!
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\ln 2) x^{n}}{n !}
∑n=1∞?n!(ln2)xn?
(D)
∑
n
=
0
∞
(
ln
?
2
)
x
n
n
!
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 2) x^{n}}{n !}
∑n=0∞?n!(ln2)xn?
例 1.14 已知
lim
?
x
→
0
f
(
x
)
x
2
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}
limx→0?x2f(x)? 存在, 且函数
f
(
x
)
=
x
?
sin
?
x
x
+
x
2
lim
?
x
→
0
f
(
x
)
1
?
cos
?
x
,
f(x)=\frac{x-\sin x}{x}+x^{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1-\cos x},
f(x)=xx?sinx?+x2limx→0?1?cosxf(x)?,
则
lim
?
x
→
0
f
(
x
)
x
2
=
(
)
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=(\quad)
limx→0?x2f(x)?=().
(A)
?
1
3
-\frac{1}{3}
?31?
(B)
1
3
\frac{1}{3}
31?
(C)
1
6
\frac{1}{6}
61?
(D)
?
1
6
-\frac{1}{6}
?61?
例 1.15 当
x
→
1
x \rightarrow 1
x→1 时, 函数
e
1
x
?
1
ln
?
∣
1
+
x
∣
(
e
x
?
1
)
(
x
?
2
)
\frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{x-1}} \ln |1+x|}{\left(\mathrm{e}^{x}-1\right)(x-2)}
(ex?1)(x?2)ex?11?ln∣1+x∣? 的极限
(
)
(\quad)
().
(A) 等于 1
(B) 等于 0
(C) 为
∞
\infty
∞
(D) 不存在且不为
∞
\infty
∞
1.10
?当?
x
→
1
时
?函数?
f
(
x
)
=
∣
x
∣
x
?
1
x
(
x
+
1
)
ln
?
∣
x
∣
?的极限为?
\text { 当 } x \rightarrow1时 \text { 函数 } f(x)=\frac{|x|^x-1}{x(x+1) \ln |x|} \text { 的极限为 }
?当?x→1时?函数?f(x)=x(x+1)ln∣x∣∣x∣x?1??的极限为?
(A) 为 3
(B) 为 2
(C) 为 1
(D) 不存在
例 1.16 设
g
(
x
)
=
{
2
?
x
,
x
?
0
,
2
+
x
,
x
>
0
,
f
(
x
)
=
{
x
2
,
x
<
0
,
?
x
?
1
,
x
?
0
,
g(x)=\left\{\begin{array}{ll}2-x, & x \leqslant 0, \\ 2+x, & x>0,\end{array} f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}, & x<0, \\ -x-1, & x \geqslant 0,\end{array}\right.\right.
g(x)={2?x,2+x,?x?0,x>0,?f(x)={x2,?x?1,?x<0,x?0,? 则
lim
?
x
→
0
g
[
f
(
x
)
]
(
)
\lim _{x \rightarrow 0} g[f(x)](\quad)
limx→0?g[f(x)]().
(A) 为 3
(B) 为 2
(C) 为 1
(D) 不存在
1.11
f
(
x
)
=
2
x
+
x
2
+
2
x
+
1
f(x)=2 x+\sqrt{x^2+2 x+1}
f(x)=2x+x2+2x+1?,
g
(
x
)
=
{
x
+
2
,
x
?
0
x
?
1
,
x
<
0
g(x)=\left\{\begin{array}{l}x+2, x \geqslant 0 \\x-1, x<0\end{array}\right.
g(x)={x+2,x?0x?1,x<0?
则
lim
?
x
→
?
1
3
g
[
f
(
x
)
]
=
\lim _{x \rightarrow-\frac{1}{3}} g[f(x)]=
limx→?31??g[f(x)]=
证明:
(07)如果
lim
?
x
→
x
0
f
(
x
)
=
A
\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A
limx→x0??f(x)=A, 则存在正常数
M
M
M 和
δ
\delta
δ, 使得当
0
<
∣
x
?
x
0
∣
<
δ
0<\left|x-x_0\right|<\delta
0<∣x?x0?∣<δ 时, 有
∣
f
(
x
)
∣
?
M
|f(x)| \leqslant M
∣f(x)∣?M.