线性代数 --- 为什么LU分解中的下三角矩阵L的主对角线上都是1?

发布时间：2024年01月05日

为什么LU分解中的下三角矩阵L的主对角线上都是1?

????????一方面，对于LU分解而言，下三角阵L是对高斯消元过程的记录，是高斯消元的逆过程，是多个消元矩阵E的逆矩阵 $E^{-1}$ 的乘积(形如下图中的下三角矩阵)，即：

$L={E_{1}}^{-1}*{E_{2}}^{-1}*{E_{3}}^{-1}*{E_{4}}^{-1}....$

? ? ? ? 另一方面，根据矩阵的乘法原则两个矩阵A和B的乘积C中的元素 $C_{ij}$ ，来自于矩阵A中第i行元素与矩阵B中第j列元素的乘积。

例如，在本例中矩阵C中的C12等于矩阵A第一行和矩阵B第二列的乘积。?

? ? ? ? 如果把这个规律放到矩阵L的计算中就会发现，在计算L矩阵中主对角线上元素时，其他部分都是0，最终只剩1。

例如：

$\begin{bmatrix} 1 & 0& 0& 0\\ X& 1 & 0 & 0\\ X& X & 1&0 \\ X& X & X&1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 0& 0& 0\\ Y& 1 & 0 & 0\\ Y& Y & 1&0 \\ Y& Y & Y&1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & & & \\ & 1& & \\ & & 1& \\ & & & 1 \end{bmatrix}$

????????以4x4矩阵为例，不论这两个矩阵中的X和Y是多少，主对角线上的元素一定是1。我们以 $L_{22}$ 的计算为例(其他也相仿)，他等于前一个矩阵的第2行，乘以后面矩阵的第2列：

$L_{22}=X*0+1*1+0*Y+0*Y=0+1+0+0=1$

（全文完）

作者 --- 松下J27?

?参考文献(鸣谢)：

1，https://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_multiplication

2，线性代数 --- LU分解（Gauss消元法的矩阵表示）_矩阵的lu分解-CSDN博客

（配图与本文无关）?

文章来源:https://blog.csdn.net/daduzimama/article/details/135419038
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