算法通关第二十关-青铜挑战认识图结构

大家好我是苏麟 , 今天来聊聊图结构 .

我们平时在工作、学习中会大量使用图结构，不过呢在使用代码进行具体实现的时候极少使用图，主要是图里容易产生环，难以处理。
在算法里，考察图也不是很多，主要是图的表示非常复杂，初始化一个图就需要几十行代码，非常不利于面试。不过呢，在笔试、校招等场景还是可能考察图，所以为了提高自己的胜算，我们有必要掌握必要的图问题。

前面我们学了线性表和树，线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系，树也只能有一个直接前驱也就是父节点，当我们需要表示多对多的关系时，就用到了图。

图

图，是一种比树更为复杂的数据结构。树的节点之间是一对多的 关系，并且存在父与子的层级划分；而图的顶点（注意，这里不叫节点）之间是多对多的关系，并且所有顶点都是平等的，无所谓谁是父 谁是子。

在生活中，图这种数据结构的应用比比皆是。在交通当中，也常常涉及图的应用。

假设某个城市的地铁线路如下：

这些许许多多地铁站所组成的交通网络，也可被认为是数据结构当中的图。

图的定义与术语总结

1. 图按照有无方向分为无向图和有向图。无向图自顶点和边构成，有向图由顶点和弧何成。弧有弧尾和弧头之分。
2. 图按照边或弧的多少分稀疏图和稠密图。如果任意两个顶点之间都存在边叫完全图，有向的叫有向完全图。若无重复的边或顶点到自身的边则叫简单图。
3. 图中顶点之间有邻接点、依附的概念。无向图顶点的边数叫做度，有向图顶点分为入度和出度。
4. 图上的边或弧上带权则称为网。
5. 图中顶点间存在路径，两顶点存在路径则说明是连通的，如果路径最终回到起始点则称为环，当中不重复叫简单路径。若任意两顶点都是连通的，则图就是连通图，有向则称强连通图。图中有子图，若子图极大连通则就是连通分量，有向的则称强连通分量。
6. 无向图中连通旦n个顶点n-l条边叫生成树。有向图中一顶点入度为。其余顶点入度为1的叫有向树。一个有向固自若干棵有向树构成生成森林。

图的基本概念

为了方便处理，我们会将图抽象为只有顶点(vertex)和边的结构(edge)，如下图所示

根据边是否有向，可以将图分为有向图和无向图。而根据顶点之间的边是否有权重，又分为带权图和不带权的图。

而不同顶点之间能够连通的线路就称为路径(Path)，例如在上述中间有向图中C到D的路径为”C->B>D“，但是从D到C则没有路径，这称为两个结点不可达。

图结构常用来存储逻辑关系为“多对多”的数据。比如说，一个学生可以同时选择多门课程，而一门课程可以同时被多名学生选择，学生和课程之间的逻辑关系就是“多对多”。再举个例子,?{V1,V2,V3,V4}?中各个元素之间具有的逻辑关系如下图所示 :

上图中，从V1可以找到V3、V4、V2，从 V3、V4、V2也可以找到 V1，因此元素之间具有“多对多”的逻辑关系，存储它们就需要用到图结构。

和链表不同，图中存储的各个元素被称为顶点(而不是节点)。拿上图来说，图中含有4个顶点，分别为顶点V1、V2、V3 和 V4。

通常情况下，我们习惯用 Vi 表示图中的顶点，且所有顶点构成的集合通常用 V 表示。比如说，上图中顶点的集合为 V={V1,V2,V3,V4}。

上图中各个顶点之间的关系都是双向的，这种情况下我们更习惯用下图来表示各个元素之间的关系 :

由 V1 可以找到 V2，同样由 V2?也可以找到 V1。类似上图这样，各个元素之间的联系都是双向的，这样的图结构称为无向图。如果元素之间存在单向的联系，那么这样的图结构称为有向图，例如:

从上面几个图，我们可以得到两个重要的结论 :

• 图中各个顶点的地位是一样的，各个边的地位也是一样的。我们知道树是有根节点的，其他结点都要严格的满足树的要求，而图中各个顶点的等价的，你可以将任何一个视为起始点，任何一个视为终点
• 对于无向图，如果一个图有n个顶点，那么最少需要n-1条边，最多有n(n-1)/2条边。例如，n=5时最少和最多的边如下:

弧头和弧尾
有向图中，无箭头一端的顶点通常被称为"初始点"或"孤尾"，箭头一端的顶点被称为"终端点"或"孤头"

入度和出度
对于有向图中的一个顶点 V 来说，箭头指向 V 的的数量为 V 的入度 (InDegree，记为 ID(V));箭头远离 V 的孤的数量为 V 的出度 (OutDegree，记为OD(V)) 。拿图中的顶点 V1来说，该顶点的入度为1，出度为 2，该顶点的度为 3.

(V1,V2) 和 <V1,V2> 的区别
无向图中描述两顶点 V1和 V2 之间的关系可以用(V1,V2) 来表示

有向图中描述从 V1 到 V2 的"单向"关系可以用 <V1,V2>来表示。

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由于图存储结构中顶点之间的关系是用线来表示的，因此(V1,V2)还可以用来表示无向图中连接 V1 和 V2的线，又称为边:同样，<V1.V2> 也可用来表示有向图中从 V1 到 V2 带方向的线，又称为弧

集合VR
图中习惯用 VR 表示图中所有顶点之间关系的集合。

例如，图中无向图的集合 VR={(v1,v2),(v1,v4),(v1,v3),(v3,v4)}

图中有向图的集合 VR={<v1,v2>,<v1,v3>,<v3.v4>,<v4.v1>}.

路径和回路
无论是无向图还是有向图，从一个顶点到另一顶点途经的所有顶点组成的序列(包含这两个顶点)，称为条路径。如果路径中第一个顶点和最后一个顶点相同，则此路径称为"回路”(或"环")。
在此基础上，若路径中各顶点都不重复，此路径被称为"简单路径"，若回路中的顶点互不重复，此回路被称为"简单回路”(或简单环)。

拿图来说，从 V1 存在一条路径还可以回到 V1，此路径为{V1,V3,V4,V1}，这是一个回路(环)，而目还是一个简单回路 (简单环) .
在有向图中，每条路径或回路都是有方向的 .

权和网
有些场景中，可能会为图中的每条边赋予一个实数表示一定的含义，这种与边(或弧)相匹配的实数被称为"权"，而带权的图通常称为网。例如:

子图
指的是由图中一部分顶点和边构成的图，称为原图的子图

连通图
前面讲过，图中从一个顶点到达另一顶点，若存在至少一条路径，则称这两个顶点是连通着的。例如图中，虽然V1 和 V3 没有直接关联，但从 V1 到 V3 存在两条路径，分别是 V1-V2-V3 和 V1-V4-V3，因此称 V1 和 V3 之间是连通的。

无向图中，如果任意两个顶点之间都能够连通，则称此无向图为连通图。例如，图中的无向图就是一个连通图，因为此图中任意两顶点之间都是连通的。

强连通图
有向图中，若任意两个顶点 Vi 和 Vj，满足从 V到 V 以及从 V到 Vi 都连通，也就是都含有至少一条通路，则称此有向图为强连通图。如图所示就是一个强连通图。

与此同时，若有向图本身不是强连通图，但其包含的最大连通子图具有强连通图的性质，则称该子图为强连通分量。

强连通分量如上图所示，整个有向图虽不是强连通图，但其含有两个强连通分量。

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