通信入门系列——信号的频谱分析

一、信号频谱

信号的频谱，指的是一段频率范围内的情况，信号的幅度和相位的情况。

以一个频率为1Hz的余弦电压信号进行说明，这个信号的傅里叶变换为X(ω)=πδ(ω-2π)+πδ(ω+2π)，也就是所谓的频谱密度，单位为V/(rad/s)，余弦信号的傅里叶变换是位于±2πrad/s或者±1Hz处的两个冲激。?

1、2Hz频率采样

对于一个1Hz的余弦信号，根据奈奎斯特采样定理，为了避免频率混叠，需要保持最低的采样率为2Hz，得到一个周期为2的离散信号，即x[n],n=0,1，也就是x[0]=1,x[1]=-1。

对X[n]连续傅里叶变换为X(ω)=1-e^(-jω)=1-cosω+jsinω。对应的幅度谱和相位谱如下所示：

2、8Hz频率采样

周期为8的采样信号

其对应的幅度谱和相位谱为：

二、频率分辨率

要分辨一个频率成分，采样至少要达到一个周期。在采样时间T内，能够分辨的最低频率是在采样时间正好是一个周期，这个频率对应在离散频谱的第一根谱线，称作基频，频率为1/T，相邻两根离散谱线之间的间隔，也就是频率分辨率。

以1.0Hz和1.1Hz的余弦信号为例，若要分辨两者，至少需要采样10s,对应两个频率分别为10个周期和11个周期，此时两个信号是正交的，这是频率分辨率在时域上的表现。

三、泄露效应

通常频谱的泄露，是由非正周期采样引起的。对周期信号进行傅里叶分析，需要采用整周期采样才能避免泄露，得到正确的分析。

以8Hz采样，采样时间为1.5s,共采样12个点，当按照N=12进行周期化，不是一个单一频率的信号，这就是频谱泄露，产生原因是把一个周期1s的信号采样了1.5s，在做傅里叶变换时认为信号的周期为1.5s，导致出现的结果不一致。