投资的收益与风险问题2024.1.15

发布时间：2024年01月18日

问题：

建立模型：

模型转化：

问题：

给定 $n$ 种资产，每种资产有 $r_i$ 的收益率和 $q_i$ 的风险损失率(重点在风险而不是损失)。

假设每种购买 $x_i$ ，总投资为 $M$ 。

每种资产在交易时还要缴费? $\left\{\begin{matrix} x_i*p_i &&x>u_i \\ u_i &&0< x\leq u_i\\ 0 &&x_i=0 \end{matrix}\right.$

最终风险评定以 $T= max\ \ x_i*q_i$ 为值

此外，还有银行，无风险无缴费? $q_0=p_0=0$ ，收益为 $x_0*r_0$ 。所以总投资选择为 $n+1$ ，即 $i=0,1,2\cdots n$

总净收益为收益减缴费 $Z=\sum x_i*r_i-(u_i/x_i*p_i/0)$

求 $max \ Z$ 同时 $min \ T$

建立模型：

由于 $M\gg u_i$ ，所以 $Z$ 可以简化为 $\sum(r_i-p_i)*x_i$

所以得出以下多目标规划模型：

目标函数为：

??????????? ?? $\left\{\begin{matrix} max \ Z\\ min\ T \end{matrix}\right.$

约束为：

???????? $s.t.\left\{\begin{matrix} \sum x_i*(1+p_i)=M\\ x_i\geq 0&&i=0,1,2\cdots n \end{matrix}\right.$

模型转化：

对于本文题，求解多目标规划模型，采用 $\varepsilon$ 约束法和线性加权法。

A：

???????? $Ps:$ ? $\varepsilon$ 约束法，即选择一个主要目标，而将其他目标放入约束条件中

????????????????例:

???????????????????????? $min \ f_k(x)$

???????????????????????? $s.t.\left\{\begin{matrix} f_i(x)\leq \varepsilon _i& i=1,2,3,\cdots k-1,k+1,\cdots n\\ original.s.t& \\ x.s.t& \end{matrix}\right.$

? ? ? ? ?????????对于取? $min$ ?则用? $\leq$ ?约束，对于取? $max$ ?则用? $\geq$ ?约束

????????则以下两种转化：

???????? $One:$ ?选择 $max\ Z$ 为主要目标，对风险进行固定约束

???????????????????????? $max \ Z$

???????????????????????? $s.t.\left\{\begin{matrix} q_i*x_i\leq M*a & \\ \sum x_i*(1+p_i)=M& \\ x_i\geq 0& i=0,1,2\cdots n \end{matrix}\right.$

???????? $Two:$ ?选择 $min\ T$ 为主要目标，对净收益进行约束

???????????????????????? $min \ T$

???????????????????????? $s.t.\left\{\begin{matrix} \sum (r_i-p_i)*x_i\geq M*k &\\\sum x_i*(1+p_i)=M& \\ x_i\geq 0& i=0,1,2\cdots n\end{matrix}\right.$

?B:

???????? $Ps:$ ?线性加权法，即将所有目标按照重要程度，分权整合为一个目标函数，求解新目标函数的最优（先化成同样类型，即同取 $min$ 或同取 $max$ ，再整合）

? ? ? ? ????????例：

??????????????????????? $min \ \sum w_i*f_i(x)$ ?

???????????????????????? $s.t.\left\{\begin{matrix} \sum w_i=1 & 0\leqslant w_i\leqslant 1,i=1,2,\cdots n\\ original.s.t.& \\ x.s.t.& \end{matrix}\right.$ ?

? ? ? ? ?则原模型转化为：

???????????????????????? $min \ w*T-(1-w)*Z$

???????????????????????? $s.t.\left\{\begin{matrix} \sum x_i*(1+p_i)=M\\ x_i\geq 0&&i=0,1,2\cdots n \end{matrix}\right.$

模型求解与分析

原题数据如下：

n=4时的数据
	$r_i$ ? ? ? ? ?%	$q_i$ ? ? ? ? %	$p_i$ ? ? ? ? %	$u_i$
1	0.05	0	0	0
2	0.28	0.025	0.01	103
3	0.21	0.015	0.02	198
4	0.23	0.055	0.045	52
5	0.25	0.026	0.065	40

$M=10000$

A.One:

对于 $a$ 的选取，由于要最小化风险，所以 $a$ 的取值要较小，但不知道多小合适。

所以让 $a$ 从0开始，按步长为0.001增长，增到0.05（ $0.05*M$ 已经很大了），进行绘图分析。

??????????????????????? $max \ \sum (r_i-p_i)*x_i$

???????????????????????? $s.t.\left\{\begin{matrix} q_i*x_i\leq M*a & \\ \sum x_i*(1+p_i)=M& \\ x_i\geq 0& i=0,1,2\cdots n \end{matrix}\right.$

clc,clear,close all
c=[0.05,0.27,0.19,0.185,0.185];%ri-pi
prob=optimproblem("ObjectiveSense","max");
x=optimvar("x",5,1,"LowerBound",0);
prob.Objective=c*x;
b=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];
M=10000;
prob.Constraints.con1=b*x==M;
a=0;aa=[];vv=[];xx=[];
%aa记录每次a的值，vv记录每次的结果，xx记录每次对应取值
q=[0.025,0.015,0.055,0.026]';
hold on
while a<0.05
    prob.Constraints.con2=q.*x(2:end)<=a*M;

    %matlab矩阵点乘，对应位置相乘但最终不会相加变为标量
    %相加小于等于不代表分别小于等于，所以不能整合

    [s,v]=solve(prob);
    aa=[aa;a];
    vv=[vv;v];
    xx=[xx;s.x'];
    a=a+0.001;
end
plot(aa,vv,"*r");
xlabel("$a$","Interpreter","latex");
ylabel("$v$","Interpreter","latex","Rotation",0);

disp(aa);
disp(vv);
disp(xx);

图像如下

? $disp(xx)$

   1.0e+04 *

    1.0000         0         0         0         0
    0.8316    0.0400    0.0667    0.0182    0.0385
    0.6633    0.0800    0.1333    0.0364    0.0769
    0.4949    0.1200    0.2000    0.0545    0.1154
    0.3266    0.1600    0.2667    0.0727    0.1538
    0.1582    0.2000    0.3333    0.0909    0.1923
         0    0.2400    0.4000    0.1091    0.2212
         0    0.2800    0.4667    0.1273    0.1016
         0    0.3200    0.5333    0.1271         0
         0    0.3600    0.6000    0.0233         0
         0    0.4000    0.5843         0         0
         0    0.4400    0.5447         0         0
         0    0.4800    0.5051         0         0
         0    0.5200    0.4655         0         0
         0    0.5600    0.4259         0         0
         0    0.6000    0.3863         0         0
         0    0.6400    0.3467         0         0
         0    0.6800    0.3071         0         0
         0    0.7200    0.2675         0         0
         0    0.7600    0.2278         0         0
         0    0.8000    0.1882         0         0
         0    0.8400    0.1486         0         0
         0    0.8800    0.1090         0         0
         0    0.9200    0.0694         0         0
         0    0.9600    0.0298         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0
         0    0.9901         0         0         0

由图和 $disp(xx)$ 可以得出：

风险越大，收益越大
投资越分散，风险越小
在 $a=0.01$ 之前存在拐点 $\dot{a}$ ，在 $\dot{a}$ 之前风险增长较慢而净收益增涨较快，之后则相反。所以 $\dot{a}$ 即为合适的取值。

缩小范围，进一步求 $a$ 。令阈值为0.01

图像如下

可以看出 $a=0.006$ 即为拐点，利用 $disp$ 找到对应数据。

即当 $a=0.006$ 时，此时净收益较大，且风险较小，最为合适。净收益为 $2019.1$ ， $x$ 取值为 $x_0=0,x_1=2400,x_3=4000,x_4=1091,x_5=2212$

A.Two:

目标函数为最大值最小化，则可以将最大值转换为约束条件

???????????????????????? $min \ x_{n+1}$

???????????????????????? $s.t.\left\{\begin{matrix} x_i*q_i\leq x_{n+1}\\ \sum (r_i-p_i)*x_i\geq M*k &\\\sum x_i*(1+p_i)=M& \\ x_i\geq 0& i=0,1,2\cdots n\end{matrix}\right.$

clc,clear,close all

prob=optimproblem();
x=optimvar("x",6,1,"LowerBound",0);
q=[0.025,0.015,0.055,0.026]';
b=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];
c=[0.05,0.27,0.19,0.185,0.185];
M=10000;
prob.Objective=x(6);
prob.Constraints.con1=q.*x(2:5)<=x(6);
prob.Constraints.con2=b*x(1:5)==M;
k=0;kk=[];vv=[];xx=[];
hold on
while k<0.26
    prob.Constraints.con3=c*x(1:5)>=k*M;
    
    %k取太大可能造成无解，则k没有对应的v,plot会报错
    
    [s,v]=solve(prob);
    kk=[kk;k];
    vv=[vv;v];
    xx=[xx;s.x'];
    k=k+0.001;
end
plot(kk,vv,"*r");
xlabel("$k$","Interpreter","latex");
ylabel("$v$","Interpreter","latex","Rotation",0);
disp(kk);
disp(vv);
disp(xx);

?由图和 $disp(xx)$ 可得出与 $A.One$ 相同的结论

对于拐点选择 $0.2$ 附近的，再缩小范围，可得出近似拐点 $0.21$

所以得当 $k=0.21$ 时，净收益为 $2100$ ， $x_0=0,x_1=3088.7,x_2=5147.9,x_3=1404.0,x_4=152.4$

?B:

??????????????????????? $min \ w*T-(1-w)*Z$

???????????????????????? $s.t.\left\{\begin{matrix} \sum x_i*(1+p_i)=M\\ x_i\geq 0&&i=0,1,2\cdots n \end{matrix}\right.$

clc,clear,close all
b=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];
q=[0.025,0.015,0.055,0.026]';
c=[0.05,0.27,0.19,0.185,0.185];%ri-pi
M=10000;
prob=optimproblem();
x=optimvar("x",6,1,"LowerBound",0);
prob.Constraints.con1=b*x(1:5)==M;
prob.Constraints.con2=q.*x(2:5)<=x(6);
w=0.6;ww=[];tt=[];zz=[];xx=[];

while w<1
    prob.Objective=w*x(6)-(1-w)*c*x(1:5);
    [s,v]=solve(prob);
    ww=[ww;w];
    xx=[xx;s.x'];
    t=s.x(6);
    tt=[tt;t];%记录风险
    z=c*s.x(1:5);
    zz=[zz;z];%记录净收益
    w=w+0.001;
end
subplot(3,1,1);
plot(ww,tt,"-r");
subplot(3,1,2);
plot(ww,zz,"-r");
subplot(3,1,3);
plot(tt,zz,"-r");
disp(ww);
disp(tt);
disp(zz);
disp(xx);

得到对应拐点的数据 $(59.3960,2.0162)$ ?

在拐点之前，风险与收益均平稳增涨，而后风险增幅变大，收益增幅相对减少。

所以选拐点处最合适，净收益为 $2016.2$ ， $x_0=0,x_1=237.6,x_2=396.0,x_3=108.0,x_4=228.4$

由前两张图和 $disp(xx)$ 也可以得出和 $A.One$ 同样的结论

小计:

多目标问题转换为线性归还求解
最大值最小化目标函数转化
图像与数据分析，拐点的特殊性
$matlab$ 中循环的应用

文章来源:https://blog.csdn.net/Xing_ke/article/details/135595641
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