MIT_线性代数笔记:第 20 讲 克莱姆法则、逆矩阵、体积

发布时间:2023年12月26日


我们已经了解了行列式的公式和性质,下面讨论它的应用。

逆矩阵的公式 Formula for A ? 1 A^{?1} A?1

我们已经知道二阶矩阵的逆矩阵公式:
[ a b c d ] = 1 a d ? b c [ d ? b ? c a ] \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} =\frac{1}{ad - bc } \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} [ac?bd?]=ad?bc1?[d?c??ba?]
那么我们能写出三阶甚至高阶的公式么?通过观察二阶矩阵逆矩阵的公式,我们可以用同样的策略来构造高阶矩阵的求逆公式,为:
A ? 1 = 1 d e t ( A ) C T A^{-1} =\frac{1}{det(A) } C^{_T} A?1=det(A)1?CT?
矩阵外因子的分母是矩阵的行列式的值,而矩阵是“代数余子式矩阵”(cofactor matrix)C 的转置矩阵 C T。即伴随矩阵(adjoint matrix)。
矩阵 A 的行列式的计算中包含的都是 n 个元素的乘积:
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而伴随矩阵中的元素都是 n-1 阶行列式,它的运算中出现的是 n-1 个矩阵 A 中元素的乘积。所以矩阵 A 与两者相乘才能完全消去,而得到单位矩阵。下面我们就用矩阵 A 与矩阵 C T C^{_T} CT?相乘来验证 A C T C^{_T} CT? =det(A)I,并且理解逆矩阵的构造策略。
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矩阵 AC T 第一行第一列的元素等于矩阵 A 第一行和矩阵 C T 第一列进行点积,计算可得:
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点积的算式本身就是矩阵 A 的计算公式,因此结果为 A 行列式的值。而矩阵A C T C^{_T} CT? 对角线上所有的元素都是如此,因此其对角戏上的元素都等于 detA。
而对于非对角线元素,我们以第二行第一列的元素为例,其计算公式为:
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这可以视为矩阵 As 的行列式数值,各个代数余子式的形式不变,但是与代数余子式相乘的变为了矩阵 A 第二行第 j 列元素。因此 As 的形式相当于用矩阵 A 第二行的元素替代第一行的元素得到的矩阵。因为该矩阵中前两行完全相同,因此按照行列式性质 4,det(As)=0;
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而 AC T乘积矩阵中非对角线元素的计算均服从此规律,因此均为 0。则:
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逆矩阵公式的一个好处就是,我们从中可以看到,当改变原矩阵中的一个元素时,给逆矩阵带来了怎样的变化。

克莱姆法则 Cramer’s Rule for x = A ? 1 A^{?1} A?1b

对于可逆矩阵 A,方程 Ax=b 必然有解 x= A ? 1 A^{?1} A?1b,将逆矩阵的公式带入其中,则有:
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矩阵 B j B_j Bj?的行列式的数值从第 j 列用代数余子式进行展开计算,正好是伴随矩阵 C T C^T CT的第 j 行与向量 b 点积的结果。此处我们用到了行列式的性质 10。 相比于消元法,采用克莱姆法则计算方程的解效率较低。

体积 |det(A)|=volume of box

矩阵 A 行列式的绝对值等于以矩阵 A 行(列)向量为边所构成的平行六面体的体积。行列式的正负对应左手系和右手系。之前提到过行列式是将矩阵的信息压缩成一个数,可以将“体积”视为它压缩后给出的信息。
如果矩阵 A 是单位矩阵,则其构成的是三个边长均为 1 且互相垂直的立方体,其体积为 1,这与上面的结论相符。这也是行列式的性质 1。
而如果矩阵 A 为正交矩阵 Q,则其构成的也是三个边边长为 1 且三边互相垂直的立方体,其体积也为 1 只是取向与单位阵不同。这也与上面的结论相符,因为 Q T Q^T QTQ=I,且 detQ=det Q T Q^T QT,所以 detQ= ± \pm ± 1。
交换矩阵 A 中的行并不会改变其行列式的绝对值,显然也不会改变向量围成的体积,因此这也和体积理论相符。这是行列式的性质 2。
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对于长方体,也非常直观,当你将其中一条边的边长增加 2 倍时,正方体的体积也会增加 2 倍成为长方体,这相当于性质 3a。
对于性质 3b,我们可以在二维条件下简单证明。
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除以上各条之外,性质 4 也比较直观,当有两条边重合时,平行六面体或者平行四边形被压扁,体积或者面积为 0。

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