简述几种常用数值方法的优势及适用性

“天地盈虚自有时”，世间万物的变化都有规律可循。寻找万物规律并预测未来是人类一直孜孜以求的事情。

随着科学技术的发展，人们发现许多问题需要使用多个变量的函数来描述。十八世纪中叶，现代数学家们开始用偏微分方程（Partial differential equation）描述自然界物理场的变化规律。

然而，大多数偏微分方程难以有效求解。数值方法是应用最广泛的偏微分方程求解方法之一，包括有限元法、有限差分法、有限体积法、边界元法等。这些方法通过将偏微分方程离散化为有限维的计算问题，然后使用数值方法求解这些问题的解。

本文简要介绍几种常用的数值计算方法。

1. 有限元法（FEM, Finite Element Method）

有限元法是通过将连续空间区域离散为有限个小单元，将偏微分方程转化为每个单元内部的局部方程，然后将这些局部方程组合起来构成整个区域的方程组，通过求解方程组从而得到偏微分方程的近似解。关于有限元法的历史，可以参考《从无限到有限：有限元法的诞生》。

有限元法的优势在于具有高度的适应性、灵活性和计算精度，能够适应各种复杂的几何形状和边界条件（特别是对椭圆型问题有更好的适应性），可以通过调节有限元的数量和自由度的精度来改变求解的近似程度，还可以分析结构的局部细节问题。

但相比于其他方法，有限元法计算量大，需要消耗大量算力和时间；同时由于对于网格的质量敏感，不适合高度非结构化的问题，也难以处理可压缩流体等复杂问题。

有限元法是目前工业软件领域最常用的数值方法，可以广泛应用于结构力学、流体力学、热力学等领域。比如在结构分析中，可以用于分析结构的刚度、应力、振动等特性，常用于飞机、桥梁、建筑物等工程结构的设计和优化。

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2. 有限差分法（FDM, Finite Difference Method）

有限差分法的基本思想是把求解域划分为差分网格，用有限的网格节点来代替连续的求解域，并使用Taylor级数展开等方法，把定解问题中的微商换成差商，从而把原问题离散化为差分格式，进而求出数值解。这是一种将微分问题转化为代数问题的近似数值解法。

有限差分法是数值解法中最经典的方法，发展较早且较为成熟。相比于其他方法，有限差分法较为“简单粗暴”，直观易懂、通用性强，适用于简单几何形状和均匀网格的问题，但难以处理复杂几何形状和边界条件，且其精度取决于离散化程度。因此在工业软件领域，有限差分法的应用并不多见。

3. 有限体积法（FVM, Finite Volume Method）

有限体积法又称有限容积法、控制体积法，将求解域划分为有限的离散控制体积，对每个控制体积内部的平衡方程进行积分，从而得到一组离散方程，然后通过求解离散方程组得到近似解。

有限体积法具有良好的收敛性和稳定性，对边界条件的处理相对简单；相比于有限元法，对网格质量要求较低，更容易处理复杂的几何体和非均匀网格。

该方法主要应用于流体力学和热力学等领域。比如在流体力学中，可以用于求解不可压缩流体或可压缩流体的守恒方程，如Navier-Stokes方程等，常用于流体的流动模拟和分析。在进行流固耦合分析时，能够完美和有限元法进行融合。

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4. 边界元法（BEM, Boundary Element Method）

边界元法是在经典积分方程法和有限元法基础上发展起来的一种数值方法,与有限元法在求解域内划分单元的思想不同，边界元法只在定义域的边界上划分单元，将边界积分方程离散化为线性代数方程组，通过求解这些方程组得到边界节点物理量。

边界元法只需要在边界上进行离散，降低了求解问题的维数，减少了计算的自由度，计算速度快、精度高；对无穷边界或边界条件占主导的问题具有较好的适用性，但较难应用在非均匀介质问题或大规模复杂问题。

作为一种准确而高效的计算方法，边界元法广泛应用于结构分析、电磁场分析、流体力学等工程领域。比如在结构分析中，边界元法在解决弹性、弹塑性、断裂力学等方面具有很大优势；在电磁场分析中，可以用于求解静电场、磁场、电磁场耦合等问题，提供各种电场特性如电势、电场强度、电流分布等信息。

数值方法不一而足，每种方法在求解不同类型问题时各具优缺点。除上述几种方法，还有物质点法（适合模拟涉及材料特大变形和断裂破碎等问题）、谱方法（适合计算流体力学复杂流场问题）、时域有限差分（适合求解电磁波场分布）、格子玻尔兹曼（求解CFD问题）、绝对坐标法（求解多体动力学问题）等。

各种数值方法并非只能单独使用，通常会结合实际问题选择适合的方法组合使用，以获得更精确、稳定、高效的解决方案。

工业软件也是如此。

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参考资料：

• 《微分方程数值求解——有限差分法》
• 《有限元（FEM) 、有限差分(FDM)和有限体积（FVM) 的优势和劣势》
• 《数值计算的六大方法》
• 《一篇文章入门“求解器”开发(全篇)》