为何浮点数不能精确表示？——浮点数在计算机中的存储方式

浮点数在计算机中的存储方式

在编程时，往往不能直接将两个浮点数进行大小比较，如下面的代码中num2 = 8.1/3按理来说应该等于2.7，然而程序却输出的是2.6999999999999997

double num1 = 2.7;
double num2 = 8.1/3;
System.out.println(num1);//2.7
System.out.println(num2);//2.6999999999999997

这就要讲到浮点数在计算机中是如何表示的了，在计算机中，浮点数是按照类似科学计数法来进行表示的。按照最常见的IEEE 754标准，浮点数在计算机内部存储时分为符号位（sign）、指数（exponent）、尾数（fraction）部分（以float为例）:

浮点数在存储时略去了第一个1，只存储小数点之后的数字即尾数，这样可以节省存储空间
指数是一个无符号整数，取值范围为0到255，但是指数可以是负的，所以规定在存入时在它原本的值加上127（使用时减去中间数127），但是指数全为1时有其特殊用途（无穷大），所以指数最大为 11111110，这样指数的取值范围为-127到127
（按照这个定义，数字 0 是无法表示的。所以 IEEE R32.24 标准强行规定，符号位，指数，尾数都为0 时，该数为0）
在这个规则下，浮点数的计算步骤如下：在尾数前加一位1，记作F；再将指数部分减去127，记作E；符号位记作S，则计算公式为：$$(?1{)}^S\times 2^E\times F_{（2进制）}$$
当我们要存储十进制的小数，比如0.1时，首先将其化为二进制小数，我们发现，0.1化为二进制小数是无限循的0.0001100110011001100…，我们只能取23位尾数进行存储，这时便产生了误差，当我们再把它化为十进制小数时就发现它不是0.1了。

因此，我们不能使用 float 和 double 这样的浮点数来表示金额等精确的值，在JDK中有java.math.BigDecimal ，这个类可以表示任意精度的数字，在应用中我们可以使用它来表示精确值。

浮点数的范围及精度

对于float类型，最大为+1.1111111 1111111 11111111（二进制）×2^127。最小为-1.1111111 1111111 11111111（二进制）× 2^-127也即-3.4028235E38到3.4028235E38，（+1.1111111 1111111 11111111（二进制）约等于2）
浮点数的精度是由尾数的位数来决定的，故float类型的精度为2^-23。或者说，由于2^23 = 8388608，一共七位，这意味着最多能有7位有效数字，但绝对能保证的为6位，也即float的精度为6~7位有效数字。