线性代数_正交矩阵

正交矩阵是线性代数中一种非常重要的矩阵类型，它在数学理论和实际应用中都有着广泛的用途。正交矩阵的定义如下：
设 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 的方阵，如果满足 \( A^T A = AA^T = I_n \)，其中 \( A^T \) 是矩阵 \( A \) 的转置，\( I_n \) 是 \( n \) 阶的单位矩阵，那么矩阵 \( A \) 称为正交矩阵。
正交矩阵具有以下几个重要的性质：
1. **单位向量**：正交矩阵的每一行（或每一列）都是单位向量。
2. **相互正交**：正交矩阵的任意两个不同的行（或列）向量都是正交的，即它们的点积为零。
3. **行列式**：正交矩阵的行列式 \( \det(A) \) 只能是 \( \pm 1 \)。当 \( \det(A) = 1 \) 时，矩阵 \( A \) 被称为特殊正交矩阵；当 \( \det(A) = -1 \) 时，矩阵 \( A \) 被称为瑕旋转矩阵。
4. **特征值**：正交矩阵的特征值的模都是 1，即特征值只能是 \( \pm 1 \)。
5. **特征向量**：正交矩阵的不同特征值对应的特征向量是正交的。
6. **逆矩阵**：正交矩阵的逆矩阵就是它的转置矩阵，反之亦然。
7. **乘积**：两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
正交矩阵在几何变换中有着重要的应用，例如在二维和三维空间中的旋转、镜像等变换。此外，正交矩阵在信号处理、量子力学、线性优化等领域也有着广泛的应用。