2024“华数杯”国际赛（B题ICM）|光伏发电|国际大学生数学建模竞赛建模解析，小鹿学长带队指引全代码文章与思路

我是小鹿学长，就读于上海交通大学，截至目前已经帮200+人完成了建模与思路的构建的处理了～

完整内容可以在文章末尾领取！

问题重述

这个问题涉及创建一个数学模型，以解决与光伏发电和中国电力供应相关的各个方面。

1. 电力供应与因素之间的关系（2024-2060）：

   • 考虑影响电力供应的因素，如经济状况、家庭消费、城市化率和市场化。
   • 使用历史数据和趋势来建模这些因素与电力供应之间的关系。
   • 预测从2024年到2060年中国电力供应的发展趋势。

2. 在特定区域建造光伏发电厂的可行性：

   • 分析建造光伏发电厂涉及的成本和收益。
   • 考虑选定区域的地理和光照条件。
   • 制定一个数学模型，评估在该特定位置建造光伏发电厂的可行性。

3. 中国光伏发电最大潜力：

   • 利用中国的地理资源、投资能力以及成本和收入因素，确定光伏发电的最大潜力。
   • 考虑土地可用性、阳光照射和财政资源等限制因素。

4. 用清洁能源替代燃煤发电：

   • 研究中国光伏发电可持续发展的战略规划。
   • 分析用清洁能源，特别是光伏发电，替代燃煤发电的可行性。
   • 考虑技术进步、市场需求和政府政策等因素。

5. 致中国政府的一封一页信：

   • 在一封一页的信中总结研究的关键发现。
   • 强调可持续发展的重要性、光伏发电的潜力以及实现2060年碳峰和碳中和的建议。

6. 文件结构（在25页限制内）：

   • 包括一页摘要表、目录、完整解决方案、一封一页的信和参考文献列表。
   • 确保提交的所有方面，包括图像和附件，在25页的限制内。

问题一

1. 收集数据：

首先，收集与中国电力供应相关的各种数据，包括经济状况$Econ$、家庭消费 $Cons$、城市化率 $Urban$、市场化 $Market$ 和电力供应 $E$。

2. 确定影响因素：

识别对电力供应有影响的关键因素，即经济状况、家庭消费、城市化率和市场化。

3. 建立数学模型：

建立多元线性回归模型：
$E={\beta }_0+{\beta }_1?Econ+{\beta }_2?Cons+{\beta }_3?Urban+{\beta }_4?Market+?$

4. 参数估计与模型拟合：

使用最小二乘法进行参数估计：
$\beta =(X^{T}X{)}^{?1}{X}^{T}Y$

其中：

• $X$是设计矩阵，包含每个观测值对应的各个因素的数值；
• $Y$ 是电力供应的向量；
• $\beta$ 是参数向量。

5. 预测未来趋势：

在模型验证有效后，将未来的经济状况、家庭消费、城市化率和市场化的预测值代入模型，得到未来电力供应的预测结果。

6. 结果分析：

分析模型预测的结果，探讨各因素对电力供应的影响程度，找出关键因素，并提出实现中国电力供应可持续发展目标的建议。

import numpy as np
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成模拟数据
np.random.seed(0)
n = 100  # 观测值数量
Econ = np.random.rand(n) * 10  # 模拟经济状况数据
Cons = np.random.rand(n) * 5   # 模拟家庭消费数据
Urban = np.random.rand(n) * 8  # 模拟城市化率数据
Market = np.random.rand(n) * 3 # 模拟市场化数据
epsilon = np.random.randn(n)    # 模拟误差

E = 2 + 1.5 * Econ + 0.8 * Cons + 1.2 * Urban + 0.5 * Market + epsilon

# 创建 DataFrame
data = {'E': E, 'Econ': Econ, 'Cons': Cons, 'Urban': Urban, 'Market': Market}
df = pd.DataFrame(data)

# 添加截距项
df['intercept'] = 1

# 定义自变量和因变量
X = df[['intercept', 'Econ', 'Cons', 'Urban', 'Market']]
y = df['E']

# 使用最小二乘法进行多元线性回归
model = sm.OLS(y, X).fit()

# 输出回归结果摘要
print(model.summary())

# 预测未来趋势
future_data = {
    'intercept': 1,
    'Econ': [/* 未来的经济状况数据 */],
    'Cons': [/* 未来的家庭消费数据 */],
    'Urban': [/* 未来的城市化率数据 */],
    'Market': [/* 未来的市场化数据 */],
}

future_df = pd.DataFrame(future_data)
future_prediction = model.predict(future_df)#见完整代码

问题二

1. 目标和问题定义：

我们的目标是在特定区域建造光伏发电厂，并通过最大化净收益来评估建设的可行性。我们需要考虑成本、收益和土地可用性等因素。

2. 目标函数：

我们希望最大化总净收益，其中净收益由售电收入减去建设和运营成本构成。

$\text{Maximize?}Z=(P\times G?C_b?C_o)\times x$

3. 约束条件：

• 地理条件约束：考虑土地可用性，确保建设的光伏发电厂不会超出可利用的土地范围。
  $\text{Efficiency}\times x\le A$

• 成本约束：总建设和运营成本不能超过可用预算。
  $C_b\times x+C_o\times x\le B$

4. 求解方法：

我们使用线性规划来求解这个问题，其中目标是最大化总净收益，而约束条件考虑了地理和成本方面的限制。

5. 变量：

好的，以下是将所有变量的表示都改为使用$首尾包围：

• $x$：在该区域建造的光伏发电厂数量（整数）。
• $P$：售电价格（每单位电的售电价格）。
• $G$：发电量（每个发电厂的预期发电量）。
• $C_b$：建设成本（每个发电厂的建设成本）。
• $C_o$：运营成本（每个发电厂的年运营成本）。
• $\text{Efficiency}$：发电效率。
• $A$：土地可用性（可用于建造光伏发电厂的土地面积）。
• $B$：可用预算（用于光伏发电厂建设和运营的可用预算）。

6. 结果分析：

通过求解线性规划问题，我们得到了最优的建设方案，包括建造的数量、位置以及预期的净收益。我们还可以进行敏感性分析，评估模型对各个因素的敏感程度，以确定最优解的稳定性。

使用Gurobi进行混合整数线性规划（MILP）的建模和求解需要先安装Gurobi并获取许可证。以下是整体思路：

1. 安装Gurobi：

首先，确保你已经安装了Gurobi Optimizer，并获得了有效的许可证。

2. 安装相关库：

在Python环境中，使用Gurobi的Python API，需要安装相关的Python库。可以使用以下命令安装：

pip install gurobipy

3. Gurobi建模和求解代码：

使用Gurobi的Python API，可以按照以下步骤进行建模和求解：

import gurobipy as gp
from gurobipy import GRB

# 创建模型
model = gp.Model("Photovoltaic_Power_Plant")

# 添加决策变量
x = model.addVar(vtype=GRB.INTEGER, name="x")  # 光伏发电厂数量

# 添加目标函数
P = 0.1  # 售电价格（每单位电的售电价格）
G = 100  # 发电量（每个发电厂的预期发电量）
C_b = 2000  # 建设成本（每个发电厂的建设成本）
C_o = 100  # 运营成本（每个发电厂的年运营成本）
model.setObjective((P * G - C_b - C_o) * x, sense=GRB.MAXIMIZE)

# 添加约束条件
Efficiency = 0.9  # 发电效率
A = 10000  # 土地可用性（可用于建造光伏发电厂的土地面积）
B = 100000  # 可用预算（用于光伏发电厂建设和运营的可用预算）
model.addConstr(Efficiency * x <= A, name="land_constraint")
model.addConstr((C_b + C_o) * x <= B, name="budget_constraint")

# 求解模型
model.optimize()

# 输出结果
if model.status == GRB.OPTIMAL:
    print("最优建设数量 (x):", x.x)
    print("最优净收益 (Z):", model.objVal)
else:
    print("未找到最优解")

# 释放资源
model.dispose()

这段代码使用Gurobi建模和求解问题，包括添加决策变量、目标函数和约束条件。最后，通过调用model.optimize()来求解模型，并输出结果。

问题三

使用Gurobi进行整数规划求解问题三的思路和代码如下：

思路：

1. 决策变量： 对每个地区$i$引入整数变量$N_i$，表示在该地区建造的光伏发电站数量。

2. 目标函数： 最大化总发电量，即各地区光伏发电站发电量的总和。

   $$\text{Maximize?}Z=\sum _{i=1}^M\left(\sum _{j=1}^{N_i}(P_j\times G_j?C_{b_j}?C_{o_j})\right)$$

3. 约束条件：

   • 地理约束：总建设的光伏发电站面积不超过各地区的可用土地面积。

     $$\sum _{i=1}^M\left(\sum _{j=1}^{N_i}{A}_j\right)\le \text{Total?Available?Land}$$

   • 预算约束：总建设和运营成本不超过总预算。

     $$\sum _{i=1}^M\left(\sum _{j=1}^{N_i}(C_{b_j}+C_{o_j})\right)\le B$$

   • 整数约束：确保每个地区的光伏发电站数量是整数。

     $$N_i\in {\mathbb{Z}}^{+}$$

4. 建立模型： 使用Gurobi建立整数规划模型，将上述目标函数和约束条件输入模型。

5. 求解： 调用Gurobi进行求解，得到最优解。

代码：

import gurobipy as gp
from gurobipy import GRB

def solve_max_photovoltaic_power(P_values, G_values, C_b_values, C_o_values, A_values, B, total_available_land):
    # 创建模型
    model = gp.Model("MaxPhotovoltaicPower")

    # 决策变量
    N = {}
    for i in range(len(P_values)):
        N[i] = model.addVar(vtype=GRB.INTEGER, name=f"N_{i}")

    # 目标函数
    model.setObjective(gp.quicksum((P_values[i] * G_values[i] - C_b_values[i] - C_o_values[i]) * N[i] for i in range(len(P_values))), sense=GRB.MAXIMIZE)

    # 地理约束
    model.addConstr(gp.quicksum(A_values[i] * N[i] for i in range(len(P_values))) <= total_available_land, name="land_constraint")

    # 预算约束
    model.addConstr(gp.quicksum((C_b_values[i] + C_o_values[i]) * N[i] for i in range(len(P_values))) <= B, name="budget_constraint")

    # 求解模型
    model.optimize()

    # 输出结果
    if model.status == GRB.OPTIMAL:
        optimal_N = {i: N[i].x for i in range(len(P_values))}
        optimal_Z = model.objVal
        return optimal_N, optimal_Z
    else:
        print("未找到最优解")
        return None, None

# 示例数据
P_values = [0.1, 0.15, 0.12]
G_values = [100, 120, 90]
C_b_values = [2000, 2500, 1800]
C_o_values = [100, 120, 80]
A_values = [5000, 6000, 4500]
B = 50000
total_available_land = 20000

# 求解问题三
optimal_N, optimal_Z = solve_max_photovoltaic_power(P_values, G_values, C_b_values, C_o_values, A_values, B, total_available_land)

# 输出结果
if optimal_N is not None:
    print("最优建设数量 (N):", optimal_N)
    print("最优总发电量 (Z):", optimal_Z)

问题四

更全面地考虑碳峰和碳中和目标、技术创新、环境影响和经济效益等因素。

目标函数：
$$\text{Maximize?}Z={\alpha }_1\times \text{CarbonReduction}+{\alpha }_2\times \text{TechnologicalInnovation}+{\alpha }_3\times \text{EconomicBenefits}+{\alpha }_4\times \text{EnvironmentalImpact}$$

其中，${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$ 是权重系数，用于平衡不同目标的重要性。

决策变量：

• $x_i$: 表示在第 $i$ 年投资于技术创新的资金。
• $y_i$: 表示第 $i$ 年光伏发电的总装机容量。
• $z_i$: 表示第 $i$ 年光伏发电的总发电量。

约束条件：

1. 碳峰和碳中和目标约束：
   $$\sum _{i=2024}^{2060}{z}_i\le \text{CarbonReductionTarget}$$

2. 技术创新约束：
   $$\sum _{i=2024}^{2060}{x}_i\ge \text{TechnologicalInnovationTarget}$$

3. 经济效益约束：
   $$\sum _{i=2024}^{2060}\left(\text{EconomicBenefitsCoefficient}\times y_i\right)\ge \text{EconomicBenefitsTarget}$$

4. 环境影响约束：
   $$\sum _{i=2024}^{2060}\left(\text{EnvironmentalImpactCoefficient}\times z_i\right)\le \text{EnvironmentalImpactTarget}$$

5. 总投资约束：
   $$\sum _{i=2024}^{2060}{x}_i+\left(\text{InvestmentPerCapacity}\times y_i\right)\le \text{TotalInvestmentCap}$$

6. 光伏发电占比目标：
   $$\frac{{\sum }_{i=2024}^{2060}{z}_i}{{\sum }_{i=2024}^{2060}\text{TotalElectricityConsumption}}\ge \text{PhotovoltaicPercentageTarget}$$

求解过程和思路：

1. 建立模型： 使用上述目标函数和约束条件建立数学模型。

2. 参数设定： 设置各项参数，包括权重系数 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4$，各项目标的具体目标值，投资上限等。

3. 求解模型： 使用优化工具（如Gurobi）求解模型，得到各个决策变量的最优值。

4. 解释结果： 解读模型的结果，分析最优投资方案，包括投资分配、光伏发电规模、碳减排效果、经济效益等。

5. 灵敏性分析： 进行灵敏性分析，观察模型对各项参数的敏感性，评估模型在不同情景下的鲁棒性。

以下是一个简化的示例代码，仅供参考：

import gurobipy as gp
from gurobipy import GRB

def solve_sustainable_photovoltaic_strategy(CarbonReductionTarget, TechnologicalInnovationTarget, EconomicBenefitsTarget, 
                                            EnvironmentalImpactTarget, TotalInvestmentCap, PhotovoltaicPercentageTarget,
                                            EconomicBenefitsCoefficient, EnvironmentalImpactCoefficient, InvestmentPerCapacity,
                                            TotalElectricityConsumption, alpha1, alpha2, alpha3, alpha4):
    # 创建模型
    model = gp.Model("SustainablePhotovoltaicStrategy")

    # 决策变量
    x = {i: model.addVar(vtype=GRB.CONTINUOUS, name=f"x_{i}") for i in range(2024, 2061)}
    y = {i: model.addVar(vtype=GRB.CONTINUOUS, name=f"y_{i}") for i in range(2024, 2061)}
    z = {i: model.addVar(vtype=GRB.CONTINUOUS, name=f"z_{i}") for i in range(2024, 2061)}

    # 目标函数
    model.setObjective(alpha1 * gp.quicksum(z[i] for i in range(2024, 2061)) +
                       alpha2 * gp.quicksum(x[i] for i in range(2024, 2061)) +
                       alpha3 * gp.quicksum(EconomicBenefitsCoefficient * y[i] for i in range(2024, 2061)) +
                       alpha4 * gp.quicksum(EnvironmentalImpactCoefficient * z[i] for i in range(2024, 2061)),
                       sense=GRB.MAXIMIZE)

    # 约束条件
    model.addConstr(gp.quicksum(z[i] for i in range(2024, 2061)) <= CarbonReductionTarget, name="carbon_reduction_constraint")
    model.addConstr(gp.quicksum(x[i] for i in range(2024, 2061)) >= TechnologicalInnovationTarget, name="technological_innovation_constraint")
    model.addConstr(gp.quicksum(EconomicBenefitsCoefficient * y[i] for i in range(2024, 2061)) >= EconomicBenefitsTarget, name="economic_benefits_constraint")
    model.addConstr(gp.quicksum(EnvironmentalImpactCoefficient * z[i] for i in range(2024, 2061)) <= EnvironmentalImpactTarget, name="environmental_impact_constraint")
    model.addConstr(gp.quicksum(x[i] + InvestmentPerCapacity * y[i] for i in range(2024, 2061)) <= TotalInvestmentCap, name="total_investment_constraint")

    total_electricity_consumption = gp.quicksum(z[i] for i in range(2024, 2061))
    model.addConstr(total_electricity_consumption / TotalElectricityConsumption >= PhotovoltaicPercentageTarget,
                    name="photovoltaic_percentage_constraint")

    # 求解模型
    model.optimize()

    # 输出结果
    if model.status == GRB.OPTIMAL:
        optimal_x = {i: x[i].x for i in range(2024, 2061)}
        optimal_y = {i: y[i].x for i in range(2024, 2061)}
        optimal_z = {i: z[i].x for i in range(2024, 2061)}
        optimal_Z = model.objVal
        return optimal_x, optimal_y, optimal_z, optimal_Z
    else:
        print("未找到最优解")
        return None, None, None, None

# 示例数据
CarbonReductionTarget = 5000
TechnologicalInnovationTarget = 1000
EconomicBenefitsTarget = 200000

灵敏性分析
在优化模型中，灵敏性分析是一种评估模型对输入参数变化的敏感程度的方法。在Gurobi中，可以通过检查变量的阴影价格（Shadow Prices）和松弛变量（Slack Values）来进行灵敏性分析。阴影价格表示目标函数值对约束右侧的单位变化的影响，而松弛变量表示约束是否对最优解有贡献。

以下是进行灵敏性分析的过程：

# 求解模型
model.optimize()

# 输出结果
if model.status == GRB.OPTIMAL:
    print("最优目标函数值 (Z):", model.objVal)
    print("\n灵敏性分析:")

    # 阴影价格 (Shadow Prices)
    print("\n阴影价格 (Shadow Prices):")
    for constraint in model.getConstrs():
        print(f"{constraint.ConstrName}: {constraint.Pi}")

    # 松弛变量 (Slack Values)
    print("\n松弛变量 (Slack Values):")
    for constraint in model.getConstrs():
        print(f"{constraint.ConstrName}: {constraint.Slack}")

    # 变量的灵敏性分析
    print("\n变量的灵敏性分析:")
    for variable in model.getVars():
        print(f"{variable.VarName}: {variable.RC}")

else:
    print("未找到最优解")

上述代码首先使用 model.optimize() 求解模型，然后检查模型的状态。如果最优解被找到，它将输出最优目标函数值，并进行灵敏性分析。

• 阴影价格 (Shadow Prices): 通过迭代所有约束，获取每个约束的阴影价格，这反映了目标函数值对约束右侧的单位变化的敏感性。

• 松弛变量 (Slack Values): 同样迭代所有约束，获取每个约束的松弛变量，这表示约束是否对最优解有贡献。如果松弛变量为零，则该约束在最优解中是严格生效的。

• 变量的灵敏性分析 (Reduced Cost): 对每个变量，获取其对应的影子价格，这表示目标函数对变量的单位增量的敏感性。

通过分析这些值，可以了解模型对输入参数的变化如何响应，以及哪些约束和变量对最优解的影响较大。请根据实际情况解释和调整结果。

问题五：

问题五要求根据研究结果，撰写一封1页的信件给中国政府，内容包括一面总结、目录、完整解决方案、一封信和参考文献。下面是问题五的思路：

1. 总结： 简要总结研究的主要发现和解决方案。

2. 目录： 创建一个清晰的目录，包括问题描述、建模思路、数学模型、代码实现、结果分析、政府建议等。

3. 完整解决方案： 提供完整的解决方案，包括数学模型、代码实现、以及对问题的深入分析和解释。

4. 一封信： 撰写一封针对中国政府的信，其中包括对问题的解释、建议和实施计划。

5. 参考文献： 引用使用的所有资料、模型和代码的来源，确保透明度和学术规范。

具体步骤：

1. 问题描述： 简要描述问题的背景、重要性和挑战。

2. 建模思路： 对问题进行建模的思路，包括分析关键因素、设定目标、确定约束条件等。

3. 数学模型： 给出建立的数学模型，包括变量、目标函数、约束条件等。

4. 代码实现： 提供问题的代码实现，包括模型求解和结果分析。

5. 结果分析： 对模型的结果进行深入分析，包括灵敏性分析、可行性讨论等。

6. 政府建议： 根据研究结果向政府提出建议，包括政策制定、投资方向等。

7. 一封信： 撰写正式信函，以专业的方式向政府传达研究的结果和建议。

8. 参考文献： 引用所有使用的文献、数据和代码来源，确保研究的可信度和透明度。

示例信件：

尊敬的[收信人姓名]，

我谨代表我们的团队，向您分享我们在2024 "Huashu Cup"国际数学建模竞赛中关于中国电力供应和光伏发电的研究成果。我们深知能源领域的挑战和机遇，特此致函，希望我们的研究成果能为贵部门的决策提供有益的信息。

**总结：**
我们的研究表明，中国在电力供应和光伏发电方面面临重要的战略抉择。为实现碳峰和碳中和目标，我们建议采取一系列综合措施，包括提高光伏发电效率、加大投资支持、完善政策法规等。

**目录：**
1. 问题描述
2. 建模思路
3. 数学模型
4. 代码实现
5. 结果分析
6. 政府建议
7. 一封信
8. 参考文献

**数学模型：**
我们建立了一个多因素综合考虑的数学模型，以电力供应与光伏发电的相互关系为基础。我们的目标是最大化碳减排效益，确保电力供应的可持续性。

**代码实现：**
我们使用了先进的数学建模工具如Gurobi等对模型进行了求解。具体的代码实现请参见附件。

**结果分析：**
通过对模型的深入分析，我们发现...

**政府建议：**
基于我们的研究，我们向政府提出以下建议：
- 制定更加激励光伏发电的政策，提高投资回报率。
- 推动技术创新，提高光伏发电效率。
- 完善电力市场监管，促使光伏发电更好地融入电力供应体系。

**一封信：**
我们希望通过这封信能够将我们的研究成果传达给您，并期待能为中国的能源发展和碳中和目标实现提供有益的参考。我们愿意提供进一步的解释和讨论，以更好地支持贵部门的决策。

感谢您花时间阅读我们的研究成果。

真诚致敬，

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**参考文献：**
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