【算法专题】递归算法

递归

在解决?个规模为 n 的问题时，如果满足以下条件，我们可以使用递归来解决：

1. 问题可以被划分为规模更小的子问题，并且这些子问题具有与原问题相同的解决?法。
2. 当我们知道规模更小的子问题（规模为 n - 1）的解时，我们可以直接计算出规模为 n 的问题的解。
3. 存在?种简单情况，或者说当问题的规模足够小时，我们可以直接求解问题。?般的递归求解过程如下：
   a. 验证是否满足简单情况。
   b. 假设较小规模的问题已经解决，解决当前问题

1. 汉诺塔问题

题目链接 -> Leetcode 面试题 08.06.汉诺塔问题

Leetcode 面试题 08.06.汉诺塔问题

题目：在经典汉诺塔问题中，有 3 根柱子及 N 个不同大小的穿孔圆盘，盘子可以滑入任意一根柱子。一开始，所有盘子自上而下按升序依次套在第一根柱子上(即每一个盘子只能放在更大的盘子上面)。移动圆盘时受到以下限制:
(1) 每次只能移动一个盘子;
(2) 盘子只能从柱子顶端滑出移到下一根柱子;
(3) 盘子只能叠在比它大的盘子上。

请编写程序，用栈将所有盘子从第一根柱子移到最后一根柱子。
你需要原地修改栈。

示例1 :
输入：A = [2, 1, 0], B = [], C = []
输出：C = [2, 1, 0]

示例2 :
输入：A = [1, 0], B = [], C = []
输出：C = [1, 0]

提示 :

• A中盘子的数目不大于14个。

思路：
这是一道递归方法的经典题目，我们可以先从最简单的情况考虑：

• 假设 n = 1，只有?个盘子，很简单，直接把它从 A 中拿出来，移到 C 上；
• 如果 n = 2 呢？这时候我们就要借助 B 了，因为小盘子必须时刻都在大盘子上面，共需要 3 步（为了方便叙述，记 A 中的盘子从上到下为 1 号，2 号）：
  a. 1 号盘子放到 B 上；
  b. 2 号盘子放到 C 上；
  c. 1 号盘子放到 C 上。
  至此，C 中的盘子从上到下为 1 号， 2 号
• 如果 n > 2 呢？这是我们需要用到 n = 2 时的策略，将 A 上面的两个盘子挪到 B 上，再将最大的盘子挪到 C 上，最后将 B 上的小盘子挪到 C 上就完成了所有步骤。

因为 A 中最后处理的是最大的盘子，所以在移动过程中不存在大盘子在小盘子上面的情况。
则本题可以被解释为：

1. 对于规模为 n 的问题，我们需要将 A 柱上的 n 个盘子移动到C柱上。
2. 规模为 n 的问题可以被拆分为规模为 n-1 的子问题：
   a. 将 A 柱上的上面 n-1 个盘子移动到B柱上。
   b. 将 A 柱上的最大盘子移动到 C 柱上，然后将 B 柱上的 n-1 个盘子移动到C柱上。
3. 当问题的规模变为 n=1 时，即只有一个盘子时，我们可以直接将其从 A 柱移动到 C 柱。

• 需要注意的是，步骤 2.b 考虑的是总体问题中的子问题 b 情况。在处理子问题的子问题 b 时，我们应该将 A 柱中的最上面的盘子移动到 C 柱，然后再将 B 柱上的盘子移动到 C 柱。在处理总体问题的子问题 b 时，A 柱中的最大盘子仍然是最上面的盘子，因此这种做法是通用的。

代码如下：

		class Solution {
		public:
		    void hanota(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C) 
		    {   
		        // 将 A 上的 A.size() 个盘子借助 B 移到 C 上
		        dfs(A, B, C, A.size());
		    }
		
		    void dfs(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C, int n)
		    {
		        // 递归出口
		        if(n == 1)
		        {
		            C.push_back(A.back());
		            A.pop_back();
		            return;
		        }
		
		        // 将 A 上的 n - 1 个盘子借助 C 移到 B 上
		        dfs(A, C, B, n - 1);
		        C.push_back(A.back());
		        A.pop_back();
		
		        // 将 B 上的 n - 1 个盘子借助 A 移到 C 上
		        dfs(B, A, C, n - 1);
		    }
		};

2. 合并两个有序链表

题目链接 - > Leetcode -21.合并两个有序链表

Leetcode -21.合并两个有序链表

题目：将两个升序链表合并为一个新的 升序 链表并返回。新链表是通过拼接给定的两个链表的所有节点组成的。

示例 1：
输入：l1 = [1, 2, 4], l2 = [1, 3, 4]
输出：[1, 1, 2, 3, 4, 4]

示例 2：
输入：l1 = [], l2 = []
输出：[]

示例 3：
输入：l1 = [], l2 = [0]
输出：[0]

提示：

• 两个链表的节点数目范围是[0, 50]
• 100 <= Node.val <= 100
• l1 和 l2 均按 非递减顺序 排列

思路：

1. 递归函数的含义：交给你两个链表的头结点，把它们合并起来，并且返回合并后的头结点；
2. 函数体：选择两个头结点中较小的结点作为最终合并后的头结点，然后将剩下的链表交给递归函数去处理；
3. 递归出口：当某一个链表为空的时候，返回另外一个链表。

代码如下：

		class Solution 
		{
		public:
		    ListNode* mergeTwoLists(ListNode* list1, ListNode* list2) 
		    {
		        if(list1 == nullptr) return list2;
		        if(list2 == nullptr) return list1;
		
		        if(list1->val < list2->val) 
		        {
		            list1->next = mergeTwoLists(list1->next, list2);
		            return list1;
		        }
		
		        else 
		        {
		            list2->next = mergeTwoLists(list1, list2->next);
		            return list2;
		        }
		    }
		};

3. 反转链表

题目链接 -> Leetcode -206.反转链表

Leetcode -206.反转链表

题目：给你单链表的头节点 head ，请你反转链表，并返回反转后的链表。

示例 1：
输入：head = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：[5, 4, 3, 2, 1]

示例 2：
输入：head = [1, 2]
输出：[2, 1]

示例 3：
输入：head = []
输出：[]

提示：

• 链表中节点的数目范围是[0, 5000]
• 5000 <= Node.val <= 5000

思路：

1. 递归函数的含义：交给你一个链表的头指针，逆序之后，返回逆序后的头结点；
2. 函数体：先把当前结点之后的链表逆序，逆序完之后，把当前结点添加到逆序后的链表后面即可；
3. 递归出口：当前结点为空或者当前只有一个结点的时候，不用逆序，直接返回。

代码如下：

		/**
		 * Definition for singly-linked list.
		 * struct ListNode {
		 *     int val;
		 *     ListNode *next;
		 *     ListNode() : val(0), next(nullptr) {}
		 *     ListNode(int x) : val(x), next(nullptr) {}
		 *     ListNode(int x, ListNode *next) : val(x), next(next) {}
		 * };
		 */
		class Solution {
		public: 
		    ListNode* reverseList(ListNode* head) 
		    {
		        if(head == nullptr || head->next == nullptr) return head;
		        
		        ListNode* ret = reverseList(head->next);
		        head->next->next = head;
		        head->next = nullptr;
		
		        return ret;
		    }
		};

4. 两两交换链表中的节点

题目链接 -> Leetcode -24.两两交换链表中的节点

Leetcode -24.两两交换链表中的节点

题目：给你一个链表，两两交换其中相邻的节点，并返回交换后链表的头节点。
你必须在不修改节点内部的值的情况下完成本题（即，只能进行节点交换）。

示例 1：
输入：head = [1, 2, 3, 4]
输出：[2, 1, 4, 3]

示例 2：
输入：head = []
输出：[]

示例 3：
输入：head = [1]
输出：[1]

提示：

• 链表中节点的数目在范围[0, 100] 内
• 0 <= Node.val <= 100

思路：

1. 递归函数的含义：交给你一个链表，将这个链表两两交换一下，然后返回交换后的头结点；
2. 函数体：先去处理一下第二个结点往后的链表，然后再把当前的两个结点交换一下，连接上后面处理后的链表；
3. 递归出口：当前结点为空或者当前只有一个结点的时候，不用交换，直接返回。

代码如下：

		/**
		 * Definition for singly-linked list.
		 * struct ListNode {
		 *     int val;
		 *     ListNode *next;
		 *     ListNode() : val(0), next(nullptr) {}
		 *     ListNode(int x) : val(x), next(nullptr) {}
		 *     ListNode(int x, ListNode *next) : val(x), next(next) {}
		 * };
		 */
		class Solution {
		public:
		
		    ListNode* swapPairs(ListNode* head)
		    {
		        if (head == nullptr || head->next == nullptr) return head;
		
		        ListNode* tmp = swapPairs(head->next->next);
		        ListNode* ret = head->next;  // 先存一下返回的头节点
		
		        head->next->next = head;
		        head->next = tmp;
		
		        return ret;
		    }
		};

5. Pow(x, n) — 快速幂

题目链接 -> Leetcode -50.Pow(x, n)

Leetcode -50.Pow(x, n)

题目：实现 pow(x, n) ，即计算 x 的整数 n 次幂函数（即，xn ）。

示例 1：
输入：x = 2.00000, n = 10
输出：1024.00000

示例 2：
输入：x = 2.10000, n = 3
输出：9.26100

示例 3：
输入：x = 2.00000, n = -2
输出：0.25000
解释：2 - 2 = 1 / 22 = 1 / 4 = 0.25

提示：

• 100.0 < x < 100.0
• 2^31 <= n <= 2^31 - 1
• n 是一个整数
• 要么 x 不为零，要么 n > 0 。
• -10^4 <= x^n <= 10^4

思路：

1. 递归函数的含义：求出 x 的 n 次方是多少，然后返回；
2. 函数体：先求出 x 的 n / 2 次方是多少，然后根据 n 的奇偶，得出 x 的 n 次方是多少；
3. 递归出口：当 n 为 0 的时候，返回 1 即可。

代码如下：

		class Solution {
		public:
		    // 2^10 = 2^5 * 2^5 = (2^2 * 2^2 * 2) * (2^2 * 2^2 * 2) = ...
		    double _pow(double x, int n) 
		    {
		        if(n == 0) return 1.0;
		
		        double tmp = _pow(x, n / 2);
		        return n % 2 == 0? tmp * tmp : tmp * tmp * x;
		    }
		
		    double myPow(double x, int n)
		    {
		        return n >= 0? _pow(x, n) : 1.0 / _pow(x, abs(n));
		    }
		};