【射影几何11】完全四边形和交比研究

一、说明

?? 对于交比的灵活应用，尚有许多情况需要讨论，首先引出完全四边形的例子，该关键词的应用非常普遍；其次，我们尝试用交比证明一些事实；随后我们又引出交比射影案例的特殊情况。

二、完全四边形

2.1 完全四边形定义

?? 【定义】完全四边形，就是存在四条线，其中不允许出现三条线共点，那么四条线围成的区域，即是完全四边形。
讨论：什么不是完全四边形？

上图，退化成三边形，不是完全四边形

上图为梯形，是完全四边形。只是作图中常常不用梯形，因为平行线相交无穷远无法做出。

2.2 完全四边形的对角线

?? 完全四边形的对角线及其重要，这里专门强调一下。

上图中AC、DB、EF是完全四边形的对角线，对角线三条，不要搞错，EF也是对角线！。

2.3 完全四边形的对角线上的调和点列

?? 如图，直线AE、BE、AF、BI构成一个完全四边形EIGF，直线AB、IF、EG为对角线。记A、B、C、D的交比为(ABCD)，则(ABCD)=-1。

??根据交比的不变性，由E点的投影，有 $x=(ABCD)=(IFHD)$
??由G点的投影，有 $(BACD)=(IFHD)$
根据定义，有 $$(BACD)=\frac{1}{(ABCD)}=\frac{1}{x}$$
??因此，$x=\frac{1}{x}$
??由于A、B、C、D四点的相对位置，$x<0$，故$(ABCD)=x=?1$
证毕。

事实上，还有一组调和点列，在对角线EG上，我们下文专门谈及。

2.3 交比证明的思维方式

?? 射影几何的证明，很容易眼花，这里发明一个思维模式：
引进一个运算符号：

See（point）= {交比点列1，交比点列2，,交比点列N}

?? point是发射点，其中SEE（point）表示：从point为发射点，能够看到的交比点列。比如下图

从E看到交比点列是IHFD和ACBD，表示为：
See(E) ={(IHFD), (ACBD)}
同理：
See（A） = {(IHFD), (EHGC)}
用等价性发现(ACBD)=(EHGC)：
【推论】在完全四边形对角线AD，HD，EC上都有一组调和点列。

三、交比应用的特殊情况

3.1 对顶射影

?? 如下图，在下图中，射影的交比循序【ABCD】和【A’B’C’D’】应该是相等的。

3.2 线束差180度如何

?? 半对顶映射将如何处理？比如下图：
1）从B点发出线束BD，BD，BS，BE，横截两个直线AE和CD，能否说明
（A1SE）=（CDS2）【这里关键是，能否将BA和BC线束看成一条？】