excel手撕BP神经网络（只需高中数学基础）

发布时间：2023年12月18日

神经网络最基础部分是由神经元组成，一个神经元相当于是一个一次函数，y=ax+b
即在已知x，和y情况下，怎么使用神经网络求解a和b

如下是使用excel求解的神经网络，可以方便理解神经网络运行原理
excel BP神经网络下载地址

0 excel数据及任务

  • 构造了如下数据，x0,x1,x2和y_true。其中x0,x1,x2对应真实wTrue(w0,w1,w2)如表格所示（表格数据都可以修改，公式已经编辑好），
    即 y=x0 * wt0 + x1 * wt1 + x2 * wt2
  • 任务；需要使用神经网络计算出真实的w

1 神经网络求解步骤：

已知 x 和y

  • 1 随机初始化wi
    初始化w全为0, w00=0,w01=0,w02=0 （为了简化，只考虑w,不考虑b）
  • 2 将x带入 a和b参数函数，得到y的预测值y_pred
    y_pred=x0w00+x1w01+x2*w02
  • 3 将预测y_pred与真实值y进行对比，构建损失函数（刚开始，随机的w误差肯定很大）
    loss= ( y _ p r e d ? y _ t r u e ) 2 (y\_pred-y\_true)^2 (y_pred?y_true)2
  • 4 对损失函数求导，使用梯度下降更新参数w.
    导数
    w00导数：dy_dw00: 2*(y_pred-y_true)x0
    w01导数：dy_dw01: 2    (y_pred-y_true)x1
    w02导数：dy_dw02: 2    (y_pred-y_true)*x2
    步长：lr=0.001
    新的 w00= w00-lr * dy_dw00
    新的 w01= w01-lr * dy_dw01
    新的 w02= w02-lr * dy_dw01
  • 5 循环上面2～4步，直到收敛

2 反向传播公式推导

上面第3步，损失函数为loss= ( y _ p r e d ? y _ t r u e ) 2 (y\_pred-y\_true)^2 (y_pred?y_true)2
其中w00,w01,w02倒数如下。导数公式证明见2.1或者2.2小节，其中用到了 x 2 x^2 x2 的导数为2x， x 2 x^2 x2的倒数证明见第4小节。
在这里插入图片描述

2.1 根据链式法则求导

若链式法则求导无法理解见 2.2节直接求导
loss= ( y _ p r e d ? y _ t r u e ) 2 (y\_pred-y\_true)^2 (y_pred?y_true)2 对w的导数为
? ( y _ p r e d ? y _ t r u e ) 2 ? w 0 = 2 ( y _ p r e d ? y _ t r u e ) ? x 0 \frac{\partial(y\_pred-y\_true)^2}{\partial w0}=2(y\_pred-y\_true)*x0 ?w0?(y_pred?y_true)2?=2(y_pred?y_true)?x0
? ( y _ p r e d ? y _ t r u e ) 2 ? w 1 = 2 ( y _ p r e d ? y _ t r u e ) ? x 1 \frac{\partial(y\_pred-y\_true)^2}{\partial w1}=2(y\_pred-y\_true)*x1 ?w1?(y_pred?y_true)2?=2(y_pred?y_true)?x1
? ( y _ p r e d ? y _ t r u e ) 2 ? w 2 = 2 ( y _ p r e d ? y _ t r u e ) ? x 2 \frac{\partial(y\_pred-y\_true)^2}{\partial w2}=2(y\_pred-y\_true)*x2 ?w2?(y_pred?y_true)2?=2(y_pred?y_true)?x2

2.2 直接求导

若不知道x^2的倒数，见第4小节

  • loss展开
    y_pred=x0w00+x1w01+x2*w02
    ( y _ p r e d ? y _ t r u e ) 2 = ( x 0 ? w 00 + x 1 ? w 01 + x 2 ? w 02 ? y _ t r u e ) 2 (y\_pred-y\_true)^2=(x0*w00+x1*w01+x2*w02-y\_true)^2 (y_pred?y_true)2=(x0?w00+x1?w01+x2?w02?y_true)2
  • 如上，如果对w00求导，则其他项可以看成常数
    ( y _ p r e d ? y _ t r u e ) 2 = ( x 0 ? w 00 ) 2 + 2 ( x 0 ? w 00 ) ? ( x 1 ? w 01 + x 2 ? w 02 ? y _ t r u e ) + ( x 1 ? w 01 + x 2 ? w 02 ? y _ t r u e ) 2 (y\_pred-y\_true)^2=(x0*w00)^2+2(x0*w00)*(x1*w01+x2*w02-y\_true)+(x1*w01+x2*w02-y\_true)^2 (y_pred?y_true)2=(x0?w00)2+2(x0?w00)?(x1?w01+x2?w02?y_true)+(x1?w01+x2?w02?y_true)2
  • 则对w00的倒数为
    2 ? x 0 2 ? w 00 + 2 x 0 ? ( x 1 ? w 01 + x 2 ? w 02 ? y _ t r u e ) 2*x0^2*w00+2x0*(x1*w01+x2*w02-y\_true) 2?x02?w00+2x0?(x1?w01+x2?w02?y_true)
    = 2 ? x 0 ? ( x 0 ? w 00 + x 1 ? w 01 + x 2 ? w 02 ? y _ t r u e ) 2*x0*(x0*w00+x1*w01+x2*w02-y\_true) 2?x0?(x0?w00+x1?w01+x2?w02?y_true)
    = 2 ? x 0 ? ( y _ p r e d ? y _ t r u e ) 2*x0*(y\_pred-y\_true) 2?x0?(y_pred?y_true)
  • 同理w01,w02的倒数都可以求出
    分别为
    2 ? x 1 ? ( y _ p r e d ? y _ t r u e ) 2*x1*(y\_pred-y\_true) 2?x1?(y_pred?y_true)
    2 ? x 2 ? ( y _ p r e d ? y _ t r u e ) 2*x2*(y\_pred-y\_true) 2?x2?(y_pred?y_true)

直接求导与链式求导结果一样

3 结果展示

如下所示，数据在进行了两轮更新（共计20步）后，已从初始值0，0，0逐步收敛到真实值wTrue.
excel下载地址

在这里插入图片描述

4 x^2导数公式推导

  • x^2倒数证明如下
    在这里插入图片描述
文章来源:https://blog.csdn.net/weixin_42529756/article/details/135039643
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