数据结构：跳表的原理和运用

本篇总结的是跳表的相关内容

什么是跳表

skiplist本质上也是一种查找结构，用于解决算法中的查找问题，跟平衡搜索树和哈希表的价值是一样的，可以作为key或者key/value的查找模型

1. 假如我们每相邻两个节点升高一层，增加一个指针，让指针指向下下个节点，如下图所示。这样所有新增加的指针连成了一个新的链表，但它包含的节点个数只有原来的一半。由于新增加的指针，我们不再需要与链表中每个节点逐个进行比较了，需要比较的节点数大概只有原来的一半
2. 以此类推，我们可以在第二层新产生的链表上，继续为每相邻的两个节点升高一层，增加一个指针，从而产生第三层链表。如下图，这样搜索效率就进一步提高了
3. skiplist正是受这种多层链表的想法的启发而设计出来的。实际上，按照上面生成链表的方式，上面每一层链表的节点个数，是下面一层的节点个数的一半，这样查找过程就非常类似二分查找，使得查找的时间复杂度可以降低到O(log n)。但是这个结构在插入删除数据的时候有很大的问题，插入或者删除一个节点之后，就会打乱上下相邻两层链表上节点个数严格的2:1的对应关系。如果要维持这种对应关系，就必须把新插入的节点后面的所有节点（也包括新插入的节点）重新进行调整，这会让时间复杂度重新蜕化成O(n)

skiplist的设计为了避免这种问题，做了一个大胆的处理，不再严格要求对应比例关系，而是插入一个节点的时候随机出一个层数。这样每次插入和删除都不需要考虑其他节点的层数，这样就好处理多了。细节过程入下图：

那问题是，跳表的效率是如何保证的呢？看下面的解释

跳表的效率原理

上面我们说到，skiplist插入一个节点时随机出一个层数，听起来怎么这么随意，如何保证搜索时的效率呢？
这里首先要细节分析的是这个随机层数是怎么来的。一般跳表会设计一个最大层数maxLevel的限制，其次会设置一个多增加一层的概率p。那么计算这个随机层数的伪代码如下图

节点层数至少为1。而大于1的节点层数，满足一个概率分布：

节点层数恰好等于1的概率为1-p
节点层数大于等于2的概率为p，而节点层数恰好等于2的概率为p(1-p)
节点层数大于等于3的概率为p²，而节点层数恰好等于3的概率为p²(1-p)
节点层数大于等于4的概率为p³，而节点层数恰好等于4的概率为p³(1-p)

跳表的难点其实就是在于跳表的结构上，在理解了跳表的结构后，下面来进行跳表的模拟实现

跳表的模拟实现

这里借助leetcode上的一道题来实现

设计跳表

// 首先要定义跳表中的节点的信息
struct SkiplistNode
{
	// 节点中的内容应当包括数据域和一个指针数组的指针域
	int _data;
	vector<SkiplistNode*> _nextV;

	// 定义关于节点信息的构造函数
	SkiplistNode(int data, int level)
		:_data(data)
		, _nextV(level, nullptr)
	{}
};

class Skiplist
{
	typedef SkiplistNode Node;
public:
	// 构造函数默认给的头节点高度为1
	Skiplist()
	{
		srand(time(0));
		_head = new Node(-1, 1);
	}

	bool search(int target)
	{
		// 跳表的搜索函数,就是一个不断寻找不断降高度的过程
		Node* cur = _head;
		int curlevel = _head->_nextV.size();
		curlevel--;
		while (cur && curlevel >= 0)
		{
			// 如果下一个跳表值存在,并且小于目标值,就跳到后面去找
			if (cur->_nextV[curlevel] && cur->_nextV[curlevel]->_data < target)
				cur = cur->_nextV[curlevel];
			// 如果下一个跳表值不存在,或者大于目标值,就降低高度寻找
			else if (cur->_nextV[curlevel] == nullptr || cur->_nextV[curlevel]->_data > target)
				curlevel--;
			// 如果相等,那就是找到了
			else
				return true;
		}
		return false;
	}

	void add(int num)
	{
		// 看看跳表中有没有这个值,如果有就不加它了
		// if (search(num))
		// 	return;
		// 首先要创建好这个节点
		int newnodelevel = RandomLevel();
		Node* newnode = new Node(num, newnodelevel);

		// 下一步要找到这个节点插入位置前面的节点分别是多少
		vector<Node*> PrevV = GetPrevVector(num);

		// 如果新插入节点的高度大于头节点高度,就把头节点拉高
		if (newnodelevel > _head->_nextV.size())
		{
			_head->_nextV.resize(newnodelevel, nullptr);
			PrevV.resize(newnodelevel, _head);
		}

		// 现在把新节点链入到跳表中
		for (int i = newnodelevel - 1; i >= 0; i--)
		{
			newnode->_nextV[i] = PrevV[i]->_nextV[i];
			PrevV[i]->_nextV[i] = newnode;
		}
	}

	bool erase(int num)
	{
		// 先去跳表中找一下它,如果没找到就不能删除
		if (search(num) == false)
			return false;

		// 删除它首先要找到它的前驱指针数组
		vector<Node*> PrevV = GetPrevVector(num);

		// 再把它从跳表中删除
		Node* del = PrevV[0]->_nextV[0];
		for (int i = 0; i < del->_nextV.size(); i++)
			PrevV[i]->_nextV[i] = del->_nextV[i];
		delete del;

		return true;
	}

	// 用来找这个节点插入位置前面节点的指针
	vector<Node*> GetPrevVector(int num)
	{
		// 寻找前面的值,就是一个不断寻找不断降高度的过程
		Node* cur = _head;
		int curlevel = _head->_nextV.size();
		vector<Node*> PrevV(curlevel, nullptr);
		curlevel--;
		while (cur && curlevel >= 0)
		{
			// 如果下一个跳表值存在,并且小于目标值,就跳到后面去找
			if (cur->_nextV[curlevel] && cur->_nextV[curlevel]->_data < num)
			{
				cur = cur->_nextV[curlevel];
			}
			// 如果下一个跳表值不存在,或者大于目标值,就先存储节点信息,再降低高度寻找
			else if (cur->_nextV[curlevel] == nullptr || cur->_nextV[curlevel]->_data >= num)
			{
				PrevV[curlevel] = cur;
				curlevel--;
			}
		}
		return PrevV;
	}

	// 用来求创建一个新节点的高度
	int RandomLevel()
	{
		size_t level = 1;
		while (rand() <= RAND_MAX * _p && level < _maxLevel)
			++level;
		return level;
	}

private:
	// 跳表内部结构是一个指针,还要给最大高度和概率值
	Node* _head;
	int _maxLevel = 32;
	float _p = 0.25;
};

难点在于理清思路，理清思路后配合画图实现代码没有那么困难

跳表和其他搜索结构的对比

1. skiplist相比平衡搜索树(AVL树和红黑树)对比，都可以做到遍历数据有序，时间复杂度也差不多

skiplist的优势是：
1、skiplist实现简单，容易控制。平衡树增删查改遍历都更复杂
2、skiplist的额外空间消耗更低。平衡树节点存储每个值有三叉链，平衡因子/颜色等消耗。skiplist中p=1/2时，每个节点所包含的平均指针数目为2；skiplist中p=1/4时，每个节点所包含的平均指针数目为1.33

2. skiplist相比哈希表而言，就没有那么大的优势了。相比而言

1、哈希表平均时间复杂度是O(1)，比skiplist快。
2、哈希表空间消耗略多一点
skiplist优势如下：
1、遍历数据有序
2、skiplist空间消耗略小一点，哈希表存在链接指针和表空间消耗。
3、哈希表扩容有性能损耗。
4、哈希表再极端场景下哈希冲突高，效率下降厉害，需要红黑树补足接力。