算法设计与分析基础课程设计

1.补充题（三）果园篱笆问题

1.1问题描述

? ? ? ?某大学ACM集训队，不久前向学校申请了一块空地，成为自己的果园。全体队员兴高采烈的策划方案，种植了大批果树，有梨树、桃树、香蕉……。后来，发现有些坏蛋，他们暗地里偷摘果园的果子，被ACM 集训队队员发现了。因此，大家商量解决办法，有人提出：修筑一圈篱笆，把果园围起来，但是由于我们的经费有限，必须尽量节省资金，所以，我们要找出一种最合理的方案。由于每道篱笆，无论长度多长，都是同等价钱。所以，大家希望设计出来的修筑一圈篱笆的方案所花费的资金最少。有人己经做了准各工序，统计了果园里果树的位置，每棵果树分别用二维坐标来表示，进行定位。现在，他们要求根据所有的果树的位置，找出一个n边形的最小篱笆，使得所有果树都包围在篱笆内部，或者在篱笆边沿上。

??本題的实质：凸包问题。请使用蛮力法和分治法求解该问题，

1、至少用两种方法设计该问题的，

2、用程序实现两种算法，并给出两算法运行结果的比较，要有图形化的界面

3、文档要求给出重要算法的算法设计的基本方法（分治，动态规划、贪心、

回溯等)，选用这些设计方法的原因，给出该算法的伪代码，分析该算法的时间复杂度，给出算法实际运行的结果。

1.2解决问题所用的方法和基本思路

1.蛮力法:

（1）选用原因：

蛮力法是一种朴素的暴力搜索算法，它可以解决一些小规模的问题。在本问题中，蛮力法可以枚举所有可能的边，判断该边是否为凸包的一条边，最后得到凸包。虽然该算法的时间复杂度为O(n^3)，但是当果树的数量比较小时，可以接受

（2）具体思路：

1. 对果树的坐标点进行排序，按照x坐标从小到大排序，如果x坐标相同，则按照y坐标从小到大排序。

2. 枚举所有可能的边，即对于每两个果树，判断是否能够构成凸包的一条边。

3. 对于每条边，判断其他果树是否在该边的左侧，如果都在左侧，则该边是凸包的一条边。

4. 将所有凸包的边保存下来，构成凸包。

最后，对凸包的顶点进行排序和去重操作，计算篱笆的长度即可。

2.分治法：

（1）选用原因：

在求解凸包的问题中，分治法是一种常用的解法。其基本思路是将问题分成若干个子问题，对每个子问题递归地求解，最后将子问题的解合并起来得到原问题的解.对于凸包问题，可以使用分治法来求解。具体地，我们可以将所有的点按照横坐标排序，然后选取横坐标最小和最大的两个点作为凸包上的端点。将剩余的点按照它们与直线AB的位置关系分成两部分，分别对这两部分递归求解凸包。然后将这两个凸包合并起来得到最终的凸包

在合并两个凸包的过程中，我们需要找到离直线AB最远的点C和D，然后将CD加入到凸包中。由于两个凸包都是凸的，因此CD一定是这两个凸包的交点。因此，我们可以通过二分查找的方法来找到CD.

由于每次递归都会将问题规模缩小一半，因此该算法的时间复杂度为O(nlogn)。因此，分治法是一种非常高效的解决凸包问题的方法。

????通过递归地将点集分成两部分，分别求出这两部分的凸包，然后再将这两个凸包合并成一个凸包。其中，求解凸包的算法采用的是 Graham 扫描法。在求解凸包的过程中，对于每个点，算法根据其与凸包上两个端点的位置关系，判断其是否应该被加入到凸包中。如果该点应该被加入到凸包中，则算法会递归地处理该点与凸包上其他点的位置关系，以保证凸包的正确性。最终，算法得到的凸包就是所求的篱笆顶点。

（2）具体思路如下：

首先将所有的果树按照横坐标排序，如果横坐标相同，则按照纵坐标排序。

然后采用分治法求解凸包。首先在所有果树中选择横坐标最小和最大的两个点A和B，将果树分为两部分，一部分在直线AB的上方，另一部分在直线AB的下方。

对于每一部分，递归地求解其凸包。对于求解凸包的过程，采用了单调链法。具体做法是，首先将最左边的两个点加入到凸包中，然后从第三个点开始，依次加入到凸包中。对于每个新加入的点P，如果它在当前凸包的右侧，就将凸包的末尾点不断弹出，直到该点在凸包的左侧，然后再将该点加入到凸包的末尾。这样就可以得到一个凸包。

对于两个子凸包的合并，采用了分治的思想。首先找到两个凸包上离直线AB最远的点C和D，将CD加入到凸包中，然后递归地对两个子凸包进行合并。

最后得到的凸包就是果园的最小篱笆。计算凸包上所有相邻点之间的距离之和，即为最小篱笆的长度。

1.3 采用的数据结构描述

(1)分治法：数组、结构体和递归

(2)蛮力法：结构体（struct node），数组：包括p数组和s数组

1.4算法描述：

1. 蛮力法：

??? 算法名称：蛮力法求解凸包问题

????输入：待处理篱笆顶点的个数以及各顶点的坐标

????输出：篱笆应该放置的位置以及最小篱笆长度

伪代码：

蛮力法求解最小包围凸多边形 brute_force_convex_hull(n)：

    对果树坐标点数组 p 进行排序操作，排序规则为 cmp 函数；

     m = 0；

   for i <- 0 to n-1：

        for j <- i+1 to n-1：

             flag = 1；

            for k <- 0 to n-1：

                If k!=1 &&k!=j：

                    if multi(p[i], p[j], p[k]) > 0：

                         flag = 0；

                        break；

            If（flag）：

                将 p[i] 存储到 s[m++] 中；

                将 p[j] 存储到 s[m++] 中；

1. 分治法：

??????算法名称：分治法求解凸包问题

??????输入：待处理篱笆顶点的个数以及各顶点的坐标

? ? ? 输出：篱笆应该放置的位置以及最小篱笆长度

? ? ? 伪代码：

   求解点集的凸包的功能。其中，dhull 函数和 uhull 函数分别用于求解下半部分和上半部分的           凸包。在每个函数中，算法首先找到距离直线最远的点，并将其作为新的端点。然后，算法            根据该点与原来的端点的位置关系，将点集分成两部分，并递归地对这两部分求解凸包。最           终，将两个凸包合并即可得到整个点集的凸包。

convex_hull(n):

    qsort(p, n, sizeof(struct node), cmp)//对坐标点按照cmp函数规则进行排序

    dhull(0, n - 1)//遍历下半部分的坐标点，找到与直线相交但离直线最远的点，记录其索引为j。如     果j为-1，则直接将p[x]加入凸包点，否则，根据叉积的正负来确定上半部分和下半部分的起始点，并递归调用dhull和uhull函数。

   uhull(0, n - 1)//同dhull()。

dhull(x, y):

    j = -1

    for i from x + 1 to y - 1:

        if multi(p[x], p[y], p[i]) <= 0:

            if dist(p[x], p[y], p[i]) > dis:

                dis = dist(p[x], p[y], p[i])

                j = i

    if j == -1:

        s[m++] <- p[x]

        return

    if multi(p[x], p[j], p[y]) < 0:

        uh <- x

        dh<-y

    else:

        uh<-y

        dh <- x

    dhull(dh, j)

    uhull(uh, j)

1.5算法的时间和空间复杂度

1. 蛮力：

基本运算：计算两个向量的叉积和比较

基本运算重复次数：O(n3)

时间复杂度分析：

输入果树的坐标点：时间复杂度为O(n)，其中n是果树的个数。

排序果树的坐标点：使用快速排序算法qsort，时间复杂度为O(nlogn)。

枚举所有可能的凸包顶点组合：三重循环，时间复杂度为O(n^3)。

判断一个点是否在凸包内：对于每个点，需要遍历所有其他点进行判断，时间复杂度为O(n)。

计算篱笆的长度：遍历凸包的顶点，时间复杂度为O(m)，其中m是凸包的顶点数。

综上所述，整个算法的时间复杂度为O(n^3)。

空间复杂度分析：

果树的坐标点数组：占用O(n)的空间。

凸包的顶点数组：占用O(n)的空间，最坏情况下凸包的顶点数为n。

其他局部变量：占用常数空间。

综上所述，整个算法的空间复杂度为O(n)。

1. 分治：

基本运算：计算两个向量的叉积、计算点到直线的距离、计算两点之间的距离，比较

基本运算重复执行次数：O(n)

时间复杂度：

对输入的点集进行排序：O(nlogn)

篱笆算法的时间复杂度：T(n)=2T(n/2)+O(n)根据主定理可得其时间复杂度：?O(nlogn)

总的时间复杂度：O(nlogn)

空间复杂度：

输入点需要O(n)?的空间存储

函数调用栈需要：O(logn)?的空间。

输出凸包点集需要：O(n)?的空间存储。

总的复杂度：O(n)?的空间存储。 ??

1.6算法实例：

???最终结果图：

1. 蛮力法：

输入：

输出：

??????????代码：

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#include <stdlib.h>

struct node

{

    double x, y;

};

struct node p[110], s[110];

int m;

double multi(struct node p1, struct node p2, struct node p3);//计算叉积

int cmp(const void *a, const void *b);对果树坐标点数组 p 进行排序操作

double dist(struct node p1, struct node p2, struct node p3);//求解点到直线的距离

void brute_force_convex_hull(int n);

int main()

{

    int n, i;//n为果树的个数，i用于重复输入果树的顶点

    m = 0;

    printf("请输入果树的个数：\n");

    scanf("%d", &n);

    for (i = 0; i < n; i++)

    {

        printf("请输入第%d棵果树的坐标点：\n", i + 1);

        scanf("%lf %lf", &p[i].x, &p[i].y); 输入第 i+1 棵果树的坐标点 p[i].x, p[i].y;

    }

    // 使用蛮力法求解最小包围凸多边形

    brute_force_convex_hull(n);

    printf("修筑一圈篱笆的最小方案为：\n");

    // 对凸包顶点数组 s 进行排序和去重操作：

    qsort(s, m, sizeof(struct node), cmp); //调用 qsort 函数对 s 数组进行排序，排序规则为 cmp 函数；qsort就是一个通过快速排序（一种排序方式）来实现任意类型数组排序的库函数。他所要的头文件为<stdlib.h>

    int k = 0;

    for (i = 1; i < m; i++) {

        if (s[i].x != s[k].x || s[i].y != s[k].y) {

            s[++k] = s[i];

        }

    }

    m = k + 1;

    double length = 0.0; // 篱笆的长度

    for (i = 0; i < m; i++)

    {

        printf("(%lf, %lf)\n", s[i].x, s[i].y);

        // 计算篱笆的长度

        length += dist(s[i], s[(i + 1) % m], s[(i + 2) % m]);

    }

    printf("篱笆的长度为：%lf\n", length);


    return 0;

}

double dist(struct node p1, struct node p2, struct node p3)

{

    return sqrt(pow(p2.y - p1.y, 2) + pow(p1.x - p2.x, 2));

}

double multi(struct node p1, struct node p2, struct node p3)

{

    return p1.x * p2.y + p3.x * p1.y + p2.x * p3.y - p3.x * p2.y - p2.x * p1.y - p1.x * p3.y;

}

int cmp(const void *a, const void *b)//

{比较函数 cmp(a, b)：将结构体指针 a 和 b 转换为 struct node 类型的指针 pa 和 pb； 如果 pa->x 和 pb->x 相等，则返回 pa->y 和 pb->y 的大小关系；否则，返回 pa->x 和 pb->x 的大小关系；

    struct node *pa = (struct node *)a;

    struct node *pb = (struct node *)b;

    if (pa->x == pb->x)

        return pa->y < pb->y ? -1 : 1;

    return pa->x < pb->x ? -1 : 1;

}

void brute_force_convex_hull(int n)

{

    qsort(p, n, sizeof(struct node), cmp);

    m = 0;

    for (int i = 0; i < n; i++)

    {

        for (int j = i + 1; j < n; j++)

        {

            int flag = 1;

            for (int k = 0; k < n; k++)

            {

                if (k != i && k != j)

                {

                    if (multi(p[i], p[j], p[k]) > 0)

                    {

                        flag = 0;

                        break;

                    }

                }

            }

            if (flag)

            {

                s[m++] = p[i];

                s[m++] = p[j];

            }

        }

    }

}

1. 分治法：

?????输入：

??????

输出

代码：

#include <stdio.h>

#include <math.h>

#include <stdlib.h>

#define PI acos(-1.0)

#define eps 1e-9

struct node

{

    double x, y;

};


struct node p[110], s[110];//定义全局变量p和s，分别用于存储输入的坐标点和生成的凸包点。

int m;//用于记录凸包点的个数。

double multi(struct node p1, struct node p2, struct node p3);//计算叉积

int cmp(const void *a, const void *b);//用于排序坐标点。

double dist(struct node p1, struct node p2, struct node p3);//求解点到直线的距离

double distd(struct node a, struct node b);//计算两点之间的距离，计算两点 a 和 b 之间的欧几里得距离。

void convex_hull(int n);//用于计算凸包。

void uhull(int x, int y);//分别计算下半部分和上半部分的凸包。

void dhull(int x, int y);

int main()

{

    int n, i;

    double d;

    m = 0;

    printf("请输入待处理篱笆顶点个数：\n");

    scanf("%d", &n);

    for (i = 0; i < n; i++)

    {

        printf("请输入第%d个坐标点：\n", i + 1);

        scanf("%lf %lf", &p[i].x, &p[i].y);

    }

    convex_hull(n);

    double sum = 0;

    for (i = 0; i < m; i++)

    {

        sum += distd(s[i], s[(i + 1) % m]);

    }

    printf("篱笆应放置点为：\n");


    for (i = 0; i < m; i++)

    {

        printf("%lf, %lf\n", s[i].x, s[i].y);

    }

    printf("篱笆长度为：%lf\n", sum);

    return 0;

}

double dist(struct node p1, struct node p2, struct node p3)

{

    return fabs((p2.y - p1.y) * p3.x + (p1.x - p2.x) * p3.y + (p1.y - p2.y) * p1.x + (p2.x - p1.x) * p1.y) / sqrt(pow(p2.y - p1.y, 2) + pow(p1.x - p2.x, 2));

}


double multi(struct node p1, struct node p2, struct node p3)

{

    return p1.x * p2.y + p3.x * p1.y + p2.x * p3.y - p3.x * p2.y - p2.x * p1.y - p1.x * p3.y;

}


int cmp(const void *a, const void *b)

{

    struct node *pa = (struct node *)a;

    struct node *pb = (struct node *)b;


    if (fabs(pa->x - pb->x) <= eps)

        return pa->y < pb->y ? -1 : 1;


    return pa->x < pb->x ? -1 : 1;

}


double distd(struct node a, struct node b)

{

    return sqrt(pow(a.x - b.x, 2) + pow(a.y - b.y, 2));

}

void convex_hull(int n)

{

    qsort(p, n, sizeof(struct node), cmp);//对坐标点进行排序。

    dhull(0, n - 1);

    uhull(0, n - 1);

}

void dhull(int x, int y)//遍历下半部分的坐标点，找到与直线相交但离直线最远的点，记录其索引为j。如果j为-1，则直接将p[x]加入凸包点。

否则，根据叉积的正负来确定上半部分和下半部分的起始点，并递归调用dhull和uhull函数。

{

    int i, j, l, r;

    double dis = -1;

    j = -1;


    if (x <= y)

    {

        l = x;

        r = y;

    }

    else

    {

        l = y;

        r = x;

    }

    for (i = l + 1; i < r; i++)

    {

        if (multi(p[x], p[y], p[i]) <= 0)

        {

            if (dist(p[x], p[y], p[i]) > dis)

            {

                dis = dist(p[x], p[y], p[i]);

                j = i;

            }

        }

    }

    if (j == -1)

    {

        s[m++] = p[x];

        return;

    }

    int uh, dh;

    if (multi(p[x], p[j], p[y]) < 0)

    {

        uh = x;

        dh = y;

    }

    else

    {

        uh = y;

        dh = x;

    }

    dhull(dh, j);

    uhull(uh, j);

}

void uhull(int x, int y)

{

    int i, j, l, r;

    double dis = -1;

    j = -1;

    if (x <= y)

    {

        l = x;

        r = y;

    }

    else

    {

        l = y;

        r = x;

    }

    for (i = l + 1; i < r; i++)

    {

        if (multi(p[x], p[y], p[i]) >= 0)

        {

            if (dist(p[x], p[y], p[i]) > dis)

            {

                dis = dist(p[x], p[y], p[i]);

                j = i;

            }

        }

    }

    if (j == -1)

    {

        s[m++] = p[y];

        return;

    }

    int uh, dh;

    if (multi(p[x], p[j], p[y]) <= 0)

    {

        uh = x;

        dh = y;

    }

    else

    {

        uh = y;

        dh = x;

    }

    dhull(dh, j);

    uhull(uh, j);

}

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