50 个具有挑战性的概率问题 [04/50]：尝试直至首次成功

图片由作者使用 DALL-E 3 提供。

二、问题描述

????????问：平均来说，需要掷骰子多少次才能得到 6？

????????此问题的关键是贝努力实验的无限次尝试入手.通过二项式实验中的得得到次数的极限。这是一个传统思路，然而下文中的求解方式更加精彩。

三、解决方案讨论

????????我们可以使用几何分布来模拟第一次成功之前的失败次数，因为实验可以进行无限次尝试直到成功。几何分布的假设是：

• 所建模的现象是一系列独立试验。
• 每次试验只有两种可能的结果，通常指定为成功（得到 6 分）或失败（未得到 6 分）。
• 每次试验的成功概率p = 1/6都是相同的。

????????可以证明，获得第一次成功的独立试验次数的预期值为1/p。

????????要证明这一点很简单。第一次试验成功的概率是p乘以1，剩余试验次数的成功概率是(1–p)乘以1 + 平均试验次数（额外 1 来解释第一次失败）。由于独立性假设，试验的平均次数不会改变。令平均试验次数为E[X]。然后我们有：

????????E[X] = p * 1 + (1 — p) * (1 + E[X])

????????求解这个方程，我们得到E[X] = 1/p。在我们的例子中，p是得到 6 的概率，即1/6，并且E[X] = 1/p = 6。

因此，获得 6 所需的平均试验次数为 6。

四、相关Python代码?

import numpy as np

n_simulations = 10000
n_first_success = 0

for _ in range(n_simulations):
    success = False
    count = 0
    while not success:
        count += 1
        roll = np.random.randint(1,7)
        if roll == 6:
            success = True
    n_first_success += count

print(f'Average no. of trials needed to get a 6 = {round(n_first_success/n_simulations)}')

# Outputs:
# Average no. of trials needed to get a 6 = 6

这就是这个 d?ie 🎲 问题的全部内容。欢迎任何反馈或问题！该代码可以在我的Github上找到。请继续关注本系列的下一部分！:)